Question

15．如图，D是△ABC的边AC上一点，AB=AC，BD=BC，将△BCD沿BD折叠，顶点C恰好落在一边上的C′处．
（1）有下列结论：①BC′=BC，②∠ABC=∠BDC，③AD=CD，④BD垂直平分CC′，其中正确的结论有①②④（只填序号）．
（2）连接C′D，求∠A的度数．

Answer 1

分析 （1）连接C'D，根据AB=AC，BD=BC，可得∠ABC=∠ACB=∠BDC，然后根据折叠的性质可得CD=C′D，BC′=BC，∠BCD=∠BC'D，继而得出∠ABC=∠BCD=∠BDC=∠BDC'=∠BC'D，即可得出∴∠A=∠ABD=∠CBD，根据三角形外角的性质得出∠AC′D≠∠A，则AD≠C′D，根据等妖三角形三线合一的性质即可求得BD垂直平分CC′；
（2）根据四边形的内角和求出各角的度数，最后可求得∠A的大小．

解答 解：（1）连接C'D，
∵AB=AC，BD=BC，
∴∠ABC=∠ACB=∠BDC，故②正确；
∵△BCD沿BD折叠，顶点C恰好落在AB边的C′处，
∴CD=C′D，BC′=BC，故①正确；
∵∠ABC=∠BCD=∠BDC=∠BDC'=∠BC'D，
∴∠A=∠ABD=∠CBD，
∵∠AC′D=∠ABD+∠BDC′，
∴∠AC′D≠∠A，
∴AD≠C′D，
∴CD≠AD，故③错误；
∵BC=BC′，∠CBD=∠C′BD，
∴BD垂直平分CC′，故④正确；
故①②④，
故答案为①②④；
（2）∵四边形BCDC'的内角和为360°，
∴∠ABC+∠BCD+∠BDC+∠BDC'+∠BC'D=360°，
∵∠ABC=∠BCD=∠BDC=∠BDC'=∠BC'D，
∴∠ABC=∠BCD=∠BDC=∠BDC'=∠BC'D=$\frac{360°}{5}$=72°，
∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=36°．

点评 本题考查了折叠的性质，解答本题的关键是掌握翻折前后的对应角相等，注意本题的突破口在于得出∠ABC=∠BCD=∠BDC=∠BDC'=∠BC'D，根据四边形的内角和为360°求出每个角的度数．