Question

如图，已知点A（1，m），B（2，n）在反比例函数的图象，设直线AB与x轴交于点C，AD⊥x轴于D点，
（1）若m=n+1，求t的值；
（2）若m，n是关于x方程：x²-2ax+a²-1=0的两根，问：在x轴上是否存在点E，使得△ABE与△ADC相似？若存在，请求出点E坐标；不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）∵点A（1，m），B（2，n）在反比例函数图象上，
∴m=t，n=t，
∵m=n+1，
∴t=t+1，
解得t=2；

（2）x²-2ax+a²-1=0，
（x-a-1）（x-a+1）=0，
∴x-a-1=0，x-a+1=0，
解得x₁=a+1，x₂=a-1，
结合图形可知m＞n，
∴m=a+1，n=a-1，
∴a+1=t，a-1=t，
解得t=4，
∴反比例函数解析式为y=，
∴点A、B的坐标是A（1，4）、B（2，2），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
则，
解得，
∴直线AB的解析式为y=-2x+6，
当y=0时，-2x+6=0，
解得x=3，
∴点C的坐标为（3，0），
又∵A（1，4）、B（2，2），
∴AD=4，CD=3-1=2，且点B是AC的中点，
①如图1，当BE是直角边时，△AEC关于BE成轴对称，
∴∠AEB=∠CEB，
∵∠CEB+∠ACE=90°，∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠CEB=∠AEB=∠CAD，
在△ABE与△CDA中，，
∴△ABE∽△CDA，
在Rt△CDA中，AC===2，
∴BC=AC=，
∵∠ACD=∠ECB，∠ADC=∠EBC=90°，
∴△ACD∽△ECB，
∴=，
即=，
解得CE=5，
∴OE=3-5=-2，
∴点E的坐标为（-2，0），
②如图2，当AE是直角边时，∠ABE=∠BEC+∠ACD，
∴△ABE与△ADC不可能相似．
故在x轴上存在点E（-2，0），使得△ABE∽△CDA．
分析：（1）把点A、B的坐标代入反比例函数解析式，然后根据m=n+1代入整理得到关于t的一元一次方程，然后解方程即可得解；
（2）利用因式分解法求出方程的解，然后结合图形得到m、n的表达式，再根据（1）的方法利用反比例函数解析式代入求出t的值，从而得到点A、B的坐标，利用待定系数法求出直线AB的解析式，再求出点C的坐标，从而得到AD、CD的长度，然后分①BE是直角边时，利用两角对应相等，两三角形相似判定，再根据相似三角形对应边成比例列式求出CE的长，从而得到点E的坐标，②AE是直角边时，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠ABE=∠BEC+∠ACD，从而得到△ABE与△ADC不可能相似．
点评：本题综合考查了反比例函数的问题，待定系数法求直线解析式，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的求解，反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，综合性质较强，难度较大．