Question

25、如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点．
（1）作点P，使它与点O关于点E成中心对称，连接CP、DP；
（2）若四边形ABCD是矩形，试判断（1）中所得四边形CODP的形状并说明理由；
（3）若（1）中所得四边形CODP是正方形，请用图中的字母和符号表示四边形ABCD应满足的条件：

OC=OD，AC⊥BD

．

Answer 1

分析：（1）根据中心对称的定义延长OE至P，使EP=OE．
（2）首先由DE=CE，EP=OE，得出四边形CODP是平行四边形，再根据矩形的性质知OC=OD，最后由有一组邻边相等的平行四边形是菱形，得出四边形CODP是菱形．
（3）如果四边形CODP是正方形，根据正方形的性质可知OC⊥OD，OC=OD，从而得出四边形ABCD应满足的条件．

解答：解：（1）如图：

（2）∵点E是CD的中点，
∴DE=CE，
又∵EP=OE，
∴四边形CODP是平行四边形，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴OC=OD，
∴?CODP是菱形．
（3）若（1）中所得四边形CODP是正方形，请用图中的字母和符号表示四边形ABCD应满足的条件：OC=OD，AC⊥BD．

点评：中心对称的定义：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称点．
一组邻边相等的平行四边形是菱形．
正方形的判定：①先证明它是矩形，再证明它有一组邻边相等；②先证明它是菱形，再证明它有一个角为直角．