Question

在边长为2的正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，P是BD上一动点，过P作EF∥AC，分别交正方形的两条边于点E，F．设BP=x，△BEF的面积为y，则能反映y与x之间关系的图象为（　　）

A．

B．

C．

D．

Answer 1

∵四边形ABCD是正方形，
∴AC=BD=2

2

，OB=OD=

1

2

BD=

2

，
①当P在OB上时，即0≤x≤

2

，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴EF：AC=BP：OB，
∴EF=2BP=2x，
∴y=

1

2

EF•BP=

1

2

×2x×x=x²；
②当x在OD上时，即

2

＜x≤2

2

，
∵EF∥AC，
∴△DEF∽△DAC，
∴EF：AC=DP：OD，
即EF：2

2

=（2

2

-x）：

2

，
∴EF=2（2

2

-x），
∴y=

1

2

EF•BP=

1

2

×2（2

2

-x）×x=-x²+

2

x，
这是一个二次函数，根据二次函数的性质可知：
二次函数的图象是一条抛物线，开口方向决定，二次项的系数．
当系数＞0时，抛物线开口向上；系数＜0时，开口向下．所以由此图我们会发现，EF的取值，最大是AC．当在AC的左边时，EF=2BP；所以此抛物线开口向上，当在AC的右边时，抛物线就开口向下了．故选C．