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6.如图,抛物线y=ax2+bx过A(4,0),B(1,3)两点,点C、B关于抛物线的对称轴对称,过点B作直线BH⊥x轴,交x轴于点H.

(1)求抛物线的表达式;
(2)直接写出点C的坐标,并求出△ABC的面积;
(3)点P是抛物线上一动点,且位于第四象限,当△ABP的面积为6时,求出点P的坐标.

分析 (1)把A点和B点坐标分别代入y=ax2+bx中得到关于a、b的方程组,然后解方程组即可得到抛物线解析式;
(2)计算函数值为3所对应的自变量的值即可得到C点,然后根据三角形面积公式计算△ABC的面积;
(3)作PQ⊥BH,如图,设P(m,-m2+4m),则利用S△ABH+S梯形APQH=S△PBQ+S△ABP可得到关于m的方程,然后解方程求出m即可得到P点坐标.

解答 解:(1)把A(4,0),B(1,3)代入y=ax2+bx得$\left\{\begin{array}{l}{16a+4b=0}\\{a+b=3}\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$,
所以抛物线解析式为y=-x2+4x;
(2)当y=3时,-x2+4x=3,解得x1=1,x2=3,则C点坐标为(3,3),
所以△ABC的面积=$\frac{1}{2}$×2×3=3;
(3)作PQ⊥BH,如图,设P(m,-m2+4m)
∵S△ABH+S梯形APQH=S△PBQ+S△ABP
∴$\frac{1}{2}$×3×3+$\frac{1}{2}$(3+m-1)×(m2-4m)=$\frac{1}{2}$×(m-1)×(3+m2-4m)+6,
整理得m2-5m=0,解得m1=0(舍去),m2=5,
∴P点坐标为(5,-5).

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点:对于二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0),△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数:△=b2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;△=b2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;△=b2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.

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甲:我的工资是2400元,在公司中属中等收入.
乙:我们有好几个人的工资都是2200元.
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