Question

【题目】如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，BD＝BA，BE⊥DC交DC的延长线于点E．

（1）若∠BAD＝70°，则∠BCA＝　 　°；

（2）若AB＝12，BC＝5，求DE的长：

（3）求证：BE是⊙O的切线．

Answer 1

【答案】（1）70；（2）；（3）证明见解析.

【解析】

（1）根据等腰三角形的性质、圆周角定理解答；

（2）根据勾股定理求出AC，证明△DEB∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算，得到答案；

（3）连接OB，根据圆内接四边形的性质、圆周角定理、平行线的性质得到OB∥DE，根据平行线的性质得到BE⊥OB，根据切线的判定定理证明结论．

（1）解：∵BD＝BA，

∴∠BDA＝∠BAD＝70°，

由圆周角定理得，∠BCA＝∠BDA＝70°，

故答案为：70；

（2）解：在Rt△ABC中，AC＝＝13，

∠BDE＝∠BAC，∠BED＝∠CBA＝90°，

∴△DEB∽△ABC，

∴，即，

解得，DE＝；

（3）证明：连接OB，

∵OB＝OC，

∴∠OBC＝∠OCB，

∵四边形ABCD内接于⊙O，

∴∠BAD+∠BCD＝180°，

∵∠BCE+∠BCD＝180°，

∴∠BCE＝∠BAD，

∵BD＝BA，

∴∠BDA＝∠BAD，

∵∠BDA＝∠ACB，

∴∠ACB＝∠BAD，

∴∠OBC＝∠BCE，

∴OB∥DE，

∵BE⊥DC，

∴BE⊥OB，

∴BE是⊙O的切线．