Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ存在时，求运动多少秒使△PBQ的面积最大，最大面积是多少？
（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△CBK：S△PBQ=5：2，求K点坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：把点A（﹣2，0）、B（4，0）分别代入y=ax2+bx﹣3（a≠0），得

，

解得 ，

所以该抛物线的解析式为：y= x2﹣ x﹣3；

（2）解：设运动时间为t秒，则AP=3t，BQ=t．

∴PB=6﹣3t．

由题意得，点C的坐标为（0，﹣3）．

在Rt△BOC中，BC= =5．

如图1，过点Q作QH⊥AB于点H．

∴QH∥CO，

∴△BHQ∽△BOC，

∴ = ，即 = ，

∴HQ= t．

∴S△PBQ= PBHQ= （6﹣3t） t=﹣ t2+ t=﹣ （t﹣1）2+ ．

当△PBQ存在时，0＜t＜2

∴当t=1时，

S△PBQ最大= ．

答：运动1秒使△PBQ的面积最大，最大面积是 ；

（3）解：设直线BC的解析式为y=kx+c（k≠0）．

把B（4，0），C（0，﹣3）代入，得

，

解得 ，

∴直线BC的解析式为y= x﹣3．

∵点K在抛物线上．

∴设点K的坐标为（m， m2﹣ m﹣3）．

如图2，过点K作KE∥y轴，交BC于点E．则点E的坐标为（m， m﹣3）．

∴EK= m﹣3﹣（ m2﹣ m﹣3）=﹣ m2+ m．

当△PBQ的面积最大时，∵S△CBK：S△PBQ=5：2，S△PBQ= ．

∴S△CBK= ．

S△CBK=S△CEK+S△BEK= EKm+ EK（4﹣m）

= ×4EK

=2（﹣ m2+ m）

=﹣ m2+3m．

即：﹣ m2+3m= ．

解得 m1=1，m2=3．

∴K1（1，﹣ ），K2（3，﹣ ）．

【解析】方法二：（1）略．（2）设运动时间为t秒，则AP=3t，BQ=t，PB=6﹣3t，

∴点C的坐标为（0，﹣3），

∵B（4，0），∴lBC：y= x﹣3，

过点Q作QH⊥AB于点H，

∴tan∠HBQ= ，∴sin∠HBQ= ，

∵BQ=t，∴HQ= t，

∴S△PBQ= PBHQ= =﹣ ，

∴当t=1时，S△PBQ最大= ．

⑶过点K作KE⊥x轴交BC于点E，

∵S△CBK：S△PBQ=5：2，S△PBQ= ，

∴S△CBK= ，

设E（m， m﹣3），K（m， ），

S△CBK= = =﹣ ，

∴﹣ = ，

∴m1=1，m2=3，

∴K1（1，﹣ ），K2（3，﹣ ）．