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【题目】如图, 的中线, 是线段 上一点(不与点 重合). 于点 ,连结

(1)如图1,当点 重合时,求证:四边形 是平行四边形;
(2)如图2,当点 不与 重合时,(1)中的结论还成立吗?请说明理由.
(3)如图3,延长 于点 ,若 ,且
①求 的度数;
②当 时,求 的长.

【答案】
(1)

证明:∵DE//AB,∴∠EDC=∠ABM,

∵CE//AM,

∴∠ECD=∠ADB,

又∵AM是△ABC的中线,且D与M重合,∴BD=DC,

∴△ABD△EDC,

∴AB=ED,又∵AB//ED,

∴四边形ABDE为平行四边形。


(2)

解:结论成立,理由如下:

过点M作MG//DE交EC于点G,

∵CE//AM,

∴四边形DMGE为平行四边形,

∴ED=GM且ED//GM,

由(1)可得AB=GM且AB//GM,

∴AB=ED且AB//ED.

∴四边形ABDE为平行四边形.


(3)

解:①取线段HC的中点I,连结MI,

∴MI是△BHC的中位线,

∴MI//BH,MI=BH,

又∵BH⊥AC,且BH=AM,

∴MI=AM,MI⊥AC,

∴∠CAM=30°

②设DH=x,则AH=x,AD=2x,

∴AM=4+2x,∴BH=4+2x,

由(2)已证四边形ABDE为平行四边形,

∴FD//AB,

∴△HDF~△HBA,

,即

解得x=1±(负根不合题意,舍去)

∴DH=1+.


【解析】(1)由DE//AB,可得同位角相等:∠EDC=∠ABM,由CE//AM,可得同位角相等∠ECD=∠ADB,又由BD=DC,则△ABD△EDC,得到AB=ED,根据有一组对边平行且相等,可得四边形ABDE为平行四边形.
(2)过点M作MG//DE交EC于点G,则可得四边形DMGE为平行四边形,且ED=GM且ED//GM,由(1)可得AB=GM且AB//GM,即可证得;
(3)①在已知条件中没有已知角的度数时,则在求角度时往特殊角30°,60°,45°的方向考虑,则要求这样的特殊角,就去找边的关系,构造直角三角形,取线段HC的中点I,连结MI,则MI是△BHC的中位线,可得MI//BH,MI=BH,且MI⊥AC,则去找Rt△AMI中边的关系,求出∠CAM;
②根据①所得的∠CAM,则可设DH=x,即可用x分别表示出AH=x,AD=2x,AM=4+2x,BH=4+2x,由△HDF~△HBA,得到对应边成比例,求出x的值即可;
【考点精析】认真审题,首先需要了解三角形中位线定理(连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线;三角形中位线定理:三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三边的一半),还要掌握平行四边形的判定与性质(若一直线过平行四边形两对角线的交点,则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点,并且这两条直线二等分此平行四边形的面积)的相关知识才是答题的关键.

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4

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2

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