Question

已知关于x的方程x²-（m-3）x+m-4=0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根大于4且小于8，求m的取值范围；
（3）设抛物线y=x²-（m-3）x+m-4与y轴交于点M，若抛物线与x轴的一个交点关于直线y=-x的对称点恰好是点M，求m的值．

Answer 1

分析：（1）求出b²-4ac的值：（m-5）²≥0，即可判断方程总有两个实数根；
（2）求出方程的两根x₁=1，x₂=m-4，根据已知方程有一个根大于4且小于8，列出不等式，求出解集即可；
（3）求出抛物线与Y轴的交点坐标，由（2）可知抛物线与x轴的交点为（1，0）和（m-4，0），根据它们关于直线y=-x的对称点分别为（0，-1）和（0，4-m），得出方程-1=m-4或4-m=m-4，求出即可得到答案．

解答：（1）证明：△=b²-4ac=（m-3）²-4（m-4）=m²-10m+25=（m-5）²≥0，
所以方程总有两个实数根．

（2）解：由（1）△=（m-5）²，根据求根公式可知，
方程的两根为：x=

m-3± (m-5)2

2

即：x₁=1，x₂=m-4，
由题意，有4＜m-4＜8，即8＜m＜12．
答：m的取值范围是8＜m＜12．

（3）解：易知，抛物线y=x²-（m-3）x+m-4与y轴交点为M（0，m-4），
由（2）可知抛物线与x轴的交点为（1，0）和（m-4，0），
它们关于直线y=-x的对称点分别为（0，-1）和（0，4-m），
由题意，可得：-1=m-4或4-m=m-4，
即m=3或m=4，
答：m的值是3或4．

点评：本题主要考查对抛物线与X轴的交点，解一元一次方程，解一元一次不等式，根的判别式，对称等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．