Question

如图，△ABC中，D为AC上一点，CD＝2DA，∠BAC＝45°，∠BDC＝60°，CE⊥BD，E为垂足，连结AE．

(1)写出图中所有相等的线段，并加以证明；

(2)图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由；

(3)求△BEC与△BEA的面积之比．

Answer 1

答案：
解析：

(1)EC＝EA＝EB，DE＝DA 　　∵∠DEC＝90°，∠BDC＝60°，∠DCE＝30°∴DE＝CD＝DA 　　∴∠DEA＝∠DAE，又∠EDC＝∠DEA＋∠DAE＝60° 　　∴∠DEA＝∠DAE＝30° 　　又∠BAC＝45°∴∠EAB＝∠BAC－∠DAE＝15° 　　而∠DEA＝∠EAB＋∠EBA∴∠EBA＝15° 　　∴∠EBA＝∠EAB∴EA＝EB 　　∵∠DCE＝∠DAE＝30° 　　∴EC＝EA∴EC＝EA＝EB 　　(2)△ADE∽△CEA或△BCD∽△ACB 　　(3)过点A作AF⊥BD，交BD的延长线于点F， 　　则∠AFD＝∠CED＝90°，又∠ADF＝∠CDE∴△CED∽△AFD 　　∴＝2 　　∴＝2