Question

9．正△ABC中与BC平行的中位线和△ABC的外接圆弧AB交于K，CK和AB交于P，求$\frac{AP}{BP}$．

Answer 1

分析 延长KT交△ABC的外接圆于G．设AB=BC=AC=2a，KS=TG=b，由SA•SB=KS•SG，列出方程求出b=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}\\;a$a，再根据KG∥BC，得$\frac{KS}{BC}$=$\frac{SP}{PB}$，得$\frac{\frac{\sqrt{5}-1}{2}a}{2a}$=$\frac{SP}{a-SP}$，求出SP、PA、PB即可解决问题．

解答 解：如图，延长KT交△ABC的外接圆于G．设AB=BC=AC=2a，KS=TG=b，
∵ST是△ABC的中位线，
∴ST∥BC，AS=BS=a，
∵SA•SB=KS•SG，
∴a²=b（b+a），
∴b²+ab-a²=0，
∴b=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$a，
∵KG∥BC，
∴$\frac{KS}{BC}$=$\frac{SP}{PB}$，
∴$\frac{\frac{\sqrt{5}-1}{2}a}{2a}$=$\frac{SP}{a-SP}$，
∴SP=（$\sqrt{5}-2$）a，AP=（$\sqrt{5}$-1）a，PB=（3-$\sqrt{5}$）a，
∴$\frac{AP}{BP}$=$\frac{（\sqrt{5}-1）a}{（3-\sqrt{5}）a}$=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．

点评 本题考查等边三角形的性质．三角形的外接圆外心、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型．