Question

11．证明：对于任意整数n，n（n+1）（n+5）+6n+6一定是6的倍数．

Answer 1

分析 先把原式分解因式，再判断三个连续整数（里面没有0）的积一定是6的倍数．

解答 解：∵n（n+1）（n+5）+6n+6
=n（n+1）（n+5）+6（n+1）
=（n+1）[n（n+5）+6]
=（n+1）（n2+5n+6）
=（n+1）（n+2）（n+3）
∴（n+1），（n+2），（n+3）是连续的整数，
∵n为整数，
∴n+1，n+2，n+3都不为零，
∵三个连续整数中，一定有一个数被3整除，
∴一定有一个因数3，
∵至少有一个数是偶数，
∴一定有一个因数2，
∴三个连续的整数一定是6的倍数．
即：n（n+1）（n+5）+6n+6一定是6的倍数．

点评 此题是约数与倍数题目，主要考查了因式分解，非零的三个连续整数的积是6的倍数是解本题的关键．