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11.证明:对于任意整数n,n(n+1)(n+5)+6n+6一定是6的倍数.

分析 先把原式分解因式,再判断三个连续整数(里面没有0)的积一定是6的倍数.

解答 解:∵n(n+1)(n+5)+6n+6
=n(n+1)(n+5)+6(n+1)
=(n+1)[n(n+5)+6]
=(n+1)(n2+5n+6)
=(n+1)(n+2)(n+3)
∴(n+1),(n+2),(n+3)是连续的整数,
∵n为整数,
∴n+1,n+2,n+3都不为零,
∵三个连续整数中,一定有一个数被3整除,
∴一定有一个因数3,
∵至少有一个数是偶数,
∴一定有一个因数2,
∴三个连续的整数一定是6的倍数.
即:n(n+1)(n+5)+6n+6一定是6的倍数.

点评 此题是约数与倍数题目,主要考查了因式分解,非零的三个连续整数的积是6的倍数是解本题的关键.

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