Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，Rt△BAP中，∠BAP=90°，已知∠CBO=∠ABP，BP交AC于点O，E为AC上一点，且AE=OC．
（1）求证：AP=AO；
（2）求证：PE⊥AO；
（3）当AE=AC，AB=10时，求线段BO的长度．

Answer 1

（1）证明见解析；
（2）证明见解析；
（3）BO=．

解析试题分析：（1）根据等角的余角相等证明即可；
（2）过点O作OD⊥AB于D，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CO=DO，利用“SAS”证明△APE和△OAD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AEP=∠ADO=90°，从而得证；
（3）设C0=3k，AC=8k，表示出AE=CO=3k，AO=AP=5k，然后利用勾股定理列式求出PE=4k，BC=BD=10﹣4k，再根据相似三角形对应边成比例列式求出k=1然后在Rt△BDO中，利用勾股定理列式求解即可．
试题解析：（1）∵∠C=90°，∠BAP=90°
∴∠CBO+∠BOC=90°，∠ABP+∠APB=90°，
又∵∠CBO=∠ABP，
∴∠BOC=∠ABP，
∵∠BOC=∠AOP，
∴∠AOP=∠ABP，
∴AP=AO；
（2）如图，过点O作OD⊥AB于D，

∵∠CBO=∠ABP，
∴CO=DO，
∵AE=OC，
∴AE=OD，
∵∠AOD+∠OAD=90°，∠PAE+∠OAD=90°，
∴∠AOD=∠PAE，
在△AOD和△PAE中，
∵AE＝OD，∠AOD＝∠PAE，AP＝AO，
∴△AOD≌△PAE（SAS），
∴∠AEP=∠ADO=90°
∴PE⊥AO；
（3）设AE=OC=3k，
∵AE=AC，∴AC=8k，
∴OE=AC﹣AE﹣OC=2k，
∴OA=OE+AE=5k．
由（1）可知，AP=AO=5k．
如图，过点O作OD⊥AB于点D，
∵∠CBO=∠ABP，∴OD=OC=3k．
在Rt△AOD中，AD===4k．
∴BD=AB﹣AD=10﹣4k．
∵OD∥AP，
∴，即
，
∵AB=10，PE=AD，
∴PE=AD=4K，BD=AB﹣AD=10﹣4k，
由∠CBO=∠ABP，根据轴对称BC=BD=10﹣4k，
∵∠BOC=∠EOP，∠C=∠PEO=90°，
∴△BCO∽△PEO，
∴，
即 ，
解得k=1．
∴BD=10﹣4k=6，OD=3k=3，
在Rt△BDO中，由勾股定理得：
BO=．
考点：1.相似三角形的判定与性质2.全等三角形的判定与性质3.角平分线的性质4.等腰三角形的判定与性质．