Question

【题目】我区某校举行冬季运动会，其中一个项目是乒乓球比赛，比赛为单循环制，即所有参赛选手彼此恰好比赛一场. 记分规则是：每场比赛胜者得3分、负者得0分、平局各得1分. 赛后统计，所有参赛者的得分总知为210分，且平局数不超过比赛总场数的，本次友谊赛共有参赛选手__________人.

Answer 1

【答案】13

【解析】

所有场数中，设分出胜负有x场，平局y场，可知分出胜负的x场里，只有胜利一队即3分，总得分为3x；平局里两队各得1分，总得分为2y；所以有3x+2y=210．又根据“平局数不超过比赛场数的”可求出x与y之间的关系，进而得到满足的9组非负整数解．又设有a人参赛，每人要与其余的（a-1）人比赛，即共a（a-1）场，但这样每两人之间是比赛了两场的，所以单循环即场，即＝x+y，找出x与y的9组解中满足关于a的方程有正整数解，即求出a的值．

设所有比赛中分出胜负的有x场，平局y场，得：

由①得：2y=210-3x

由②得：2y≤x

∴210-3x≤x

解得：x≥，

∵x、y均为非负整数

∴，，，……，

设参赛选手有a人，得：＝x+y

化简得：a2-a-2（x+y）=0

∵此关于a的一元二次方程有正整数解

∴△=1+8（x+y）必须为平方数

由得：1+8×（54+24）=625，为25的平方

∴解得：a1=-12（舍去），a2=13

∴共参赛选手有13人．

故答案为：13．