Question

【题目】如图，AB为直径，AB=4，C、D为圆上两个动点，N为CD中点，CM⊥AB于M，当C、D在圆上运动时保持∠CMN=30°，则CD的长（　 ）

A. 随C、D的运动位置而变化，且最大值为4 B. 随C、D的运动位置而变化，且最小值为2

C. 随C、D的运动位置长度保持不变，等于2 D. 随C、D的运动位置而变化，没有最值

Answer 1

【答案】C

【解析】分析：连接OC、ON、OD，由垂径定理可知ON⊥CD，∠CON=∠DON，然后由∠ONC+∠CMO=180°，可证明O、N、C、M四点共圆，从而可得到∠NOC=∠NMC=30°，于是可证明△OCD为等边三角形，从而得到CD=2．

详解：连接：OC、ON、OD.

∵N是CD的中点，

∴ON⊥CD，∠CON=∠DON.

又∵CM⊥AB，

∴∠ONC+∠CMO=180°，

∴O、N、C. M四点共圆，

∴∠NOC=∠NMC=30°，

∴∠COD=60°，

又∵OC=OD，

∴△OCD为等边三角形.

∴CD=AB=×4=2.

故选：C.