Question

如图，AB是半圆O的直径，C为半圆上一点，N是线段BC上一点（不与B﹑C重合），过N作AB的垂线交AB于M，交AC的延长线于E，过C点作半圆O的切线交EM于F．
（1）求证：△ACO∽△NCF；
（2）NC：CF=3：2，求sinB的值．

Answer 1

分析：（1）根据直径所对的圆周角是直角和切线的性质定理得∠ACB=∠OCF=90°；根据同角的余角相等得∠ACO=∠NCF；根据同角的余角相等和对顶角相等发现∠CNF=∠BNM=∠A；由此可证得△ACO∽△NCF．
（2）根据（1）中相似三角形的对应边的比相等得到AC：AO=3：2，进一步得到AC、AB的比例关系，从而求得sinB的值．

解答：（1）证明：∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
∴EM⊥AB，
∴∠A=∠CNF=∠MNB=90°-∠B．
∵CF为⊙O切线，
∴∠OCF=90°．
∴∠ACO=∠NCF=90°-∠OCB，
∴△ACO∽△NCF．

（2）解：由△ACO∽△NCF得：

AC

CO

=

CN

CF

=

3

2

．
在Rt△ABC中，sinB=

AC

AB

=

AC

2AO

=

AC

2CO

=

3

4

．

点评：本题主要考查圆周角定理、切线的性质、相似三角形的判定和性质等知识的综合应用能力．