Question

21、（1）如图①，△ABC是等边三角形，D是AB上一点，以CD为一边向上作等边△ECD，连接AE，求证：∠CAE=∠CBA．
（2）在上题（1）中，当D点在AB的延长线上时，其他条件不变，如图②所示，请你补画出题意的图形，（1）的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请简要说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据△ABC与△EDC是等边三角形，利用其三边相等和三角相等的关系，先证∠BCD=∠ACE，然后即可证明结论
（2）同（1）根据△ABC与△EDC是等边三角形，利用其三边相等和三角相等的关系，证明△ACE≌△BCD说明．

解答：解：（1）证明：∵△ABC与△EDC是等边三角形，
∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，DC=EC．
又∵∠BCD=∠ACB-∠ACD，∠ACE=∠DCE-∠ACD，
∴∠BCD=∠ACE，
∴△ACE≌△BCD，
∴∠CAE=∠CBA．

（2）不成立；
因为同（1）易证△ACE≌△BCD，
所以∠CAE=∠CBD，
∠CBD与∠CBA互补，
所以∠CAE和∠CBA互补但不相等．

点评：此题考查的知识点是等百年三角形的性质，等边三角形各边长相等、各内角为60°的性质，本题中求证△AE≌△BCD是解题的关键．