Question

【题目】如图△ABC中，BC=AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．

（1）求证：点D是AB的中点；

（2）求证：DE与⊙O相切；

（3）若BC=18，AB=12，求DE的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）DE=4．

【解析】（1）连接CD，由BC为直径可知CD⊥AB，又BC=AC，由等腰三角形的底边“三线合一”证明结论；

（2）连接OD，则OD为△ABC的中位线，OD∥AC，已知DE⊥AC，可证DE⊥OC，证明结论；

（3）利用勾股定理即可得出答案．

（1）证明：连结CD，如图，

∵BC为直径，

∴∠BDC=90°，

∴CD⊥AB，

∵AC=BC，

∴AD=BD，

即点D是AB的中点；

（2）解：DE与⊙O相切．理由如下：

连结OD，

∵AD=BD，OC=OB，

∴OD为△ABC的中位线，

∴OD∥AC，

而DE⊥AC，

∴DE⊥OD，

∴DE为⊙O的切线．

（3）解：∵AB=12，BD=AD，

∴AD=6，

∵CA=CB=18，

在Rt△ADC中，DC==12，

∵DE⊥AC，

∴ADCD=ACDE，

∴DE==4 ．