Question

14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx-2经过A、B；两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C．已知A（-1，0），B（3，0）．
（1）求抛物线及直线BC的表达式；
（2）直线n与y轴平行，分别交抛物线、直线BC和x轴于点D、F、E．若直线n在O、B之间平移，设点E（m，0），FD=h．当m为何值时，h的值最大？并求出它的最大值；
（3）在抛物线上是否存在一点P，使△PCB是以点C为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）直接把A（-1，0），B（3，0）代入抛物线y=ax²+bx-2，求出ab的值即可得出抛物线的解析式，再令x=0，求出y的值即可得出C点坐标，利用待定系数法求出直线BC的解析式即可；
（2）先用m表示出F、D的坐标，再用m表示出FD的长，进而可得出结论；
（3）设PC的解析式为y=-$\frac{3}{2}$x+k，根据C（0，-2）可得出直线PC的y=-$\frac{3}{2}$x-2，再联立直线与抛物线的解析式即可得出P点坐标即可．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx-2经过A（-1，0），B（3，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}a-b-2=0\\ 9a+3b-2=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{2}{3}\\ b=-\frac{4}{3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为：y=$\frac{2}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x-2．
∵当x=0时，y=-2，
∴C（0，-2）．
设直线BC的解析式为y=kx+m（k≠0），
∴$\left\{\begin{array}{l}m=-2\\ 3k+m=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}k=\frac{2}{3}\\ m=-2\end{array}\right.$，
∴此直线的解析式为：y=$\frac{2}{3}$x-2；

（2）∵F（m，$\frac{2}{3}$m-2），D（m，$\frac{2}{3}$m²-$\frac{4}{3}$m-2），
∴h=FD=$\frac{2}{3}$m-2-（$\frac{2}{3}$m²-$\frac{4}{3}$m-2）
=-$\frac{2}{3}$m²+2m，
∵-$\frac{2}{3}$＜0，
∴h有最最大值，
∴当m=-$\frac{2}{2×（-\frac{2}{3}）}$=$\frac{3}{2}$时，h_最大=$\frac{3}{2}$．

（3）∵PC⊥BC，
∴设PC的解析式为y=-$\frac{3}{2}$x+k，
∵C（0，-2），
∴y=-$\frac{3}{2}$x-2，
∴$\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{3}{2}x-2\\ y=\frac{2}{3}{x}^{2}-\frac{4}{3}x-2\end{array}\right.$，解得x₁=-$\frac{1}{4}$，x₂=0（舍去）．
当x₁=-$\frac{1}{4}$时，y=-$\frac{13}{8}$，
∴P（-$\frac{1}{4}$，-$\frac{13}{8}$）．

点评 本题考查的是二次函数综合题，涉及到抛物线上点的坐标特点、用待定系数法求一次函数的解析式等知识，难度适中．