Question

16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx-4a与直线y=-x+4交两坐标轴于点B，C，且与x轴交另一点A．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点D（m，m+1）在第一象限抛物线的图象上，求点D关于直线BC对称的点D′坐标；
（3）在（2）的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求△ABP的面积．

Answer 1

分析 （1）可求抛物线过两点，由待定系数求出抛物线解析式；
（2）根据D、E中点坐标在直线BC上，求出D点关于直线BC对称点的坐标；
（3）作辅助线PF⊥AB于F，DE⊥BC于E，根据几何关系，先求出tan∠PBF，再设出P点坐标，根据几何关系解出P点坐标，即可求出面积．

解答 解：（1）∵直线y=-x+4与两坐标轴交于点B，C，
∴点B（4，0），C（0，4），
抛物线y=ax²+bx-4a经过B（4，0），C（0，4）两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-4a=4}\\{16a+4b-4a=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$．
∴抛物线的解析式为y=-x²+3x+4；
（2）∵点D（m，m+1）在抛物线上，
∴m+1=-m²+3m+4，
即m²-2m-3=0，
∴m=-1或m=3，
∵点D在第一象限，
∴点D的坐标为（3，4），
由（1）知OC=OB，
∴∠CBA=45°
设点D关于直线BC的对称点为点E，
∵C（0，4），
∴CD∥AB，且CD=3，
∴∠ECB=∠DCB=45°，
∴E点在y轴上，且CE=CD=3，
∴OE=1，
∴E（0，1），
即点D关于直线BC对称的点的坐标为（0，1）；
（3）作PF⊥AB于F，DE⊥BC于E，
由（1）有：OB=OC=4，
∴∠OBC=45°，
∵∠DBP=45°，
∴∠CBD=∠PBA，
∵C（0，4），D（3，4），
∴CD∥OB且CD=3，
∴∠DCE=∠CBO=45°，
∴DE=CE=$\frac{3}{2}\sqrt{2}$，
∵OB=OC=4，
∴BC=4$\sqrt{2}$，
∴BE=BC-CE=$\frac{5}{2}\sqrt{2}$，
∴tan∠PBF=tan∠CBD=$\frac{DE}{BE}=\frac{3}{5}$，
设PF=3t，则BF=5t，OF=5t-4，
∴P（-5t+4，3t），
∵P点在抛物线上，
∴3t=-（-5t+4）²+3（-5t+4）+4，
解得：∴t=0（舍去）或t=$\frac{22}{25}$，
∴P（$-\frac{2}{5}$，$\frac{66}{25}$）．
∴S_△ABP=$\frac{1}{2}$×5×$\frac{66}{25}$=$\frac{33}{5}$．

点评 本题主要考查了二次函数与一次函数的综合应用，第二问考查点的对称问题，作合适的辅助线，根据垂直和三角形全等来求P点坐标；第三问，根据相同角的正切值是相等的，确定出点P的坐标是解决此题的关键．