Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是边长为5的正方形，顶点A在y轴正半轴上，顶点B在x轴正半轴上，OA，OB的长满足|OA﹣4|+（OB﹣3）2＝0．

（1）求OA，OB的长；

（2）求点D的坐标；

（3）在y轴上是否存在点P，使△PAB是以AB为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）OA＝4，OB＝3．（2）点D坐标为（4，7）．（3）当PA＝AB＝5时，P（0，9）或（0，﹣1），当PB＝BA时，P（0，﹣4）．

【解析】

（1）利用非负数的性质即可解决问题．

（2）如图2中，作DE⊥y轴于E．证明△AOB≌△DEA（AAS），推出DE＝OA＝4，AE＝OB＝3，即可解决问题．

（3）分两种情形分别求解即可解决问题．

解：（1）∵|OA﹣4|+（OB﹣3）2＝0，

又∵|OA﹣4|≥0，（OB﹣3）2≥0，

∴OA＝4，OB＝3．

（2）如图2中，作DE⊥y轴于E．

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝AB，∠DAB＝90°，

∴∠DAE+∠BAO＝90°，∠DAE+∠ADE＝90°，

∴∠BAO＝∠ADE，

∵∠DEA＝∠AOB＝90°，

∴△AOB≌△DEA（AAS），

∴DE＝OA＝4，AE＝OB＝3，

∴OE＝7，

∴点D坐标为（4，7）．

（3）存在．在Rt△AOB中，AB＝＝5，

∴当PA＝AB＝5时，P（0，9）或（0，﹣1），

当PB＝BA时，P（0，﹣4）．