Question

如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿AC折叠，点B落在点E处，AE与DC的交点为O，连接DE．
（1）求证：△ADE≌△CED；
（2）求证：DE∥AC．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）,全等三角形的判定与性质,矩形的性质

专题：证明题

分析：（1）根据矩形的性质和折叠的性质可得BC=CE=AD，AB=AE=CD，根据SSS可证△ADE≌△CED（SSS）；
（2）根据全等三角形的性质可得∠EDC=∠DEA，由于△ACE与△ACB关于AC所在直线对称，可得∠OAC=∠CAB，根据等量代换可得∠OAC=∠DEA，再根据平行线的判定即可求解．

解答：证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=CD，
又∵AC是折痕，
∴BC=CE=AD，
AB=AE=CD，
在△ADE与△CED中，

CE=AD AE=CD DE=ED

，
∴△ADE≌△CED（SSS）；

（2）∵△ADE≌△CED，
∴∠EDC=∠DEA，
又∵△ACE与△ACB关于AC所在直线对称，
∴∠OAC=∠CAB，
∵∠OCA=∠CAB，
∴∠OAC=∠OCA，
∴2∠OAC=2∠DEA，
∴∠OAC=∠DEA，
∴DE∥AC．

点评：本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，以及全等三角形的判定与性质，正确证明三角形全等是关键．