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    在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC所在的直线上运动，作∠ADE=45°（A，D，E按逆时针方向）．
    （1）如图1，若点D在线段BC上运动，DE交AC于E．
    ①求证：△ABD∽△DCE；
    ②当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．
    （2）①如图2，若点D在BC的延长线上运动，DE的反向延长线与AC的延长线相交于点E，是否存在点D，使△ADE'是等腰三角形？若存在，写出所有点D的位置；若不存在，请简要说明理由；
    ②如图3，若点D在BC的反向延长线上运动，是否存在点D，使△ADE是等腰三角形？若存在，写出所有点D的位置；若不存在，请简要说明理由．

    【答案】分析：（1）由∠ADB+∠BAD=135°，∠ADB+∠CDE=135°，得出∠BAD=∠CDE；第二问分AD=AE、AD=DE、AE=DE三种情况讨论．
    （2）存在，可证△ADC∽△AE′D，第二小题不存在（矛盾的结论）．
    解答：解：（1）①由∠BAC=90°，AB=AC，推出∠B=∠C=45°．
    由∠BAD+∠ADB=135°，∠ADB+∠EDC=135°得到∠BAD=∠EDC．
    推出△ABD∽△DCE．

    ②分三种情况：
    （ⅰ）当AD=AE时，∠ADE=∠AED=45°时，得到∠DAE=90°，点D、E分别与B、C重合，所以AE=AC=2．
    （ⅱ）当AD=DE时，由①知△ABD∽△DCE，
    又AD=DE，知△ABD≌△DCE．
    所以AB=CD=2，故BD=CE=2，
    所以AE=AC-CE=4-2．
    （ⅲ）当AE=DE时，有∠EAD=∠ADE=45°=∠C，
    故∠ADC=∠AED=90°．
    所以DE=AE=AC=1．

    （2）①存在（只有一种情况）．
    由∠ACB=45°推出∠CAD+∠ADC=45°．
    由∠ADE=45°推出∠DAC+∠DE′A=45°．
    从而推出∠ADC=∠DE′A．证得△ADC∽△AE′D．
    所以，又AD=DE′，所以DC=AC=2．
    ②不存在．
    因为D和B不重合，
    所以∠AED＜45°，∠ADE=45°，
    ∠DAE＞90度．
    所以AD≠AE，
    同理可得：AE≠DE．
    点评：考查相似三角形的判定和性质，相似三角形和全等三角形的转化．分情况讨论等腰三角形的可能性．
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