Question

已知：关于x的方程x²+（k-2）x+k-3=0
（1）求证：方程x²+（k-2）x+k-3=0总有实数根；
（2）若方程x²+（k-2）x+k-3=0有一根大于5且小于7，求k的整数值；
（3）在（2）的条件下，对于一次函数y₁=x+b和二次函数y₂=x²+（k-2）x+k-3，当-1＜x＜7时，有y₁＞y₂，求b的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用一元二次方程根的判别式进行判定即可；
（2）解方程得到方程的两个根，然后根据含有字母k的根即为大于5且小于7的根，列出不等式组，求解得到k的取值范围，再写出整数值即可；
（3）把k值代入得到二次函数解析式，再根据y₁＞y₂整理出关于x的一元二次不等式，然后利用二次函数的性质可知，二次函数与x轴的交点横坐标在-1到7之外，再根据两个负数相比较，绝对值大的反而小列出不等式求解即可．
解答：（1）证明：△=（k-2）²-4（k-3），
=k²-4k+4-4k+12，
=k²-8k+16，
=（k-4）²，
∵（k-4）²≥0，
∴此方程总有实根；

（2）解：解得方程两根为，x₁=-1，x₂=3-k，
∵方程有一根大于5且小于7，
∴5＜3-k＜7，
即-7＜k-3＜-5，
解得-4＜k＜-2，
∵k为整数，
∴k=-3；

（3）解：由 （2）知k=-3，
∴y₂=x²-5x-6，
∵y₁＞y₂，
∴y₂-y₁＜0，
即x²-6x-6-b＜0，
∵在-1＜x＜7时，有y₁＞y₂，
∴x²-6x-6-b=0的两个根在-1到7之间，
即y=x²-6x-6-b与x轴的交点在-1到7之外，
∴两根之积-6-b＜-1×7，
解得b＞1．
点评：本题是二次函数综合题型，主要涉及了一元二次方程的根的情况的判定，解一元二次方程，解不等式组，以及利用二次函数解一元二次不等式的方法，（3）根据x的取值范围判断出二次函数与x轴的交点在-1到7之外是解题的关键．