【题目】如图,已知△ABC是等边三角形,以AB为直径作⊙O,交BC边于点D,交AC边于点F,作DE⊥AC于点E.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若△ABC的边长为4,求EF的长度.
【答案】(1)证明见解析;(2)1
【解析】试题分析:(1)连接OD,根据等边三角形的性质求出∠ODE=90°,根据切线的判定定理证明即可;
(2)连接AD,BF,根据等边三角形的性质求出DC、CF,根据直角三角形的性质求出EC,结合图形计算即可.
试题解析:(1)如图1,连接OD,∵△ABC是等边三角形,∴∠B=∠C=60°.
∵OB=OD,∴∠ODB=∠B=60°.∵DE⊥AC,∴∠DEC=90°.
∴∠EDC=30°.∴∠ODE=90°.∴DE⊥OD于点D.∵点D在⊙O上,
∴DE是⊙O的切线;
(2)如图2,连接AD,BF,∵AB为⊙O直径,∴∠AFB=∠ADB=90°.∴AF⊥BF,AD⊥BD.
∵△ABC是等边三角形,∴,.
∵∠EDC=30°,∴.∴FE=FC﹣EC=1.
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【题目】如图,某商场设立了一个可以自由转动的转盘,并规定:顾客购物50元以上就能获得一次转动转盘的机会,当转盘停止时,指针落在某一区域就可以获得该区域相对应的奖品.若恰巧落在两区域交界线上,则重新转动转盘.下表是活动进行中的一组统计数据:
转动转盘的次数 | 100 | 150 | 200 | 500 | 800 | 1000 |
落在“矿泉水”的次数 | 68 | 111 | 136 | 345 | 564 | 701 |
假如你去转动该转盘一次,你获得牙膏的概率约是______.(用小数表示,结果保留一位小数)
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【题目】矩形AOBC中,OB=4,OA=3.分别以OB,OA所在直线为x轴,y轴,建立如图1所示的平面直角坐标系.F是BC边上一个动点(不与B,C重合),过点F的反比例函数y=(k>0)的图象与边AC交于点E.
(1)当点F运动到边BC的中点时,求点E的坐标;
(2)连接EF,求∠EFC的正切值;
(3)如图2,将△CEF沿EF折叠,点C恰好落在边OB上的点G处,求此时反比例函数的解析式.
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【题目】为了掌握某次数学模拟考试卷的命题质量与难度系数,命题教师选取一个水平相当的初三年级进行调研,命题教师将随机抽取的部分学生成绩分为5组:第一组75~90;第二组90~105;第三组105~120;第四组120~135;第五组135~150.统计后得到如图所示的频数分布直方图(每组含最小值不含最大值)和扇形统计图.观察图形的信息,回答下列问题:
请将频数分布直方图补充完整;若老师找到第五组中一个学生的语文、数学、英语三科成绩,如表.老师将语文、数学、英语成绩按照3:5:2的比例给出这位同学的综合分数.求此同学的综合分数.
科目 | 语文 | 数学 | 英语 |
得分 | 120 | 146 | 140 |
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【题目】“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题:“今有圆材,埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”用数学语言可表述为:“如图,CD为⊙O的直径,弦AB⊥CD于E,CE=1寸,AB=10寸,求直径CD的长”.(1尺=10寸)则CD=_____.
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【题目】抛物线上部分点的横坐标,纵坐标的对应值如下表:
… | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | … | |
… | 0 | 4 | 6 | 6 | 4 | … |
从上表可知,下列说法中正确的是______.(填写序号)
①抛物线与轴的一个交点为; ②函数的最大值为6;
③抛物线的对称轴是直线; ④在对称轴左侧,随增大而增大.
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