Question

如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E，且点D为边BC的中点

．

(1)求证：△ABC为等边三角形；

(2)求DE的长；

(3)在线段AB的延长线上是否存在一点P，使△PBD≌△AED？

若存在，请求出PB的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）连接AD∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90° ，

∵

点D是BC上的中点．     

∴AD⊥BC,BA=AC，∵BC=AB∴AB=BC=CA

∴△ABC是等边三角形，

 (2) 连接BE

∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90° ，

∵△ABC是等边三角形，

      ∴ AE=EC．即E是AC的中点

    ∵D是BC的中点，

    ∴DE=AB=*2=1．

（3）存在点P使连结△PBD≌△AED．

由（1）（2）知BD=ED

∵∠BAC＝60°.DE∥AB∴∠AED＝120°.　又∵∠ABC＝60°，∴∠PBD＝120°

∴∠PBD＝∠AED

要使△PBD≌△AED，只需PB=AE=1即可