Question

如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=-2x+b分别与x轴，y轴相交于A，B两点，且点A为（-4，0），点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P．
（1）填空：b=

 

．
（2）连接PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；
（3）若⊙P与直线l有两个交点，交点为C、D，当k为何值时，以C、D、P为顶点的三角形是正三角形？
．

Answer 1

分析：（1）把A的坐标代入一次函数的解析式求出即可；
（2）根据PA=PB和勾股定理得到方程4²+k²=（8-k）²，求出即可；
（3）过P作PE⊥CD于E，根据勾股定理和等腰三角形的性质求出PE，证△BEP∽△BOA，得到比例式，代入求出即可．

解答：（1）解：把A（-4，0）代入y=-2x+b得：0=8+b，
∴b=-8，
故答案为：-8．

（2）答：⊙P与x轴的位置关系是相切．
理由是：∵OA=4，OP=-k，PA=PB，
由勾股定理得：4²+（-k）²=（8+k）²，
解得：k=-3，
∴OP=-k=3，
∵⊙P的圆心P到x轴的距离OP等于⊙P的半径3，
∴⊙P与x轴相切；

（3）解：若P在B的上方，过P作PE⊥CD于E，

∵正△PCD，PC=PD=DC=3，
∴DE=EC=

3

2

，
在△PDE中，由勾股定理得：PE=

3 3

2

，
在△AOB中，由勾股定理得：AB=

OA2+OB2

=4

5

，
∵∠PEB=∠AOB=90°，∠ABO=∠ABO，
∴△BEP∽△BOA，
∴

PE

OA

=

PB

AB

，
∴

3 3 2

4

=

k+8

4 5

，
解得：k=

3

2

15

-8；
若P在B的下方，
∵正△PCD，PC=PD=DC=3，
∴DE=EC=

3

2

，
在△PDE中，由勾股定理得：PE=

3 3

2

，
在△AOB中，由勾股定理得：AB=

OA2+OB2

=4

5

，
∵∠PEB=∠AOB=90°，∠ABO=∠ABO，
∴△BEP∽△BOA，
∴

PE

OA

=

PB

AB

，
∴

3 3 2

4

=

-8-k

4 5

，
解得：k=

-16-3 15

2

，


答：当k为

3

2

15

-8或

-16-3 15

2

时，以C、D、P为顶点的三角形是正三角形．

点评：本题主要考查对等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定，解一元一次方程，一次函数图象上的点的坐标特征，等边三角形的性质等知识点的连接和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．