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    如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，我们把形如图1的图形称之为“8字形“．如图2，∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于点M、N．试解答下列问题：
    ①仔细观察，在图2中有
     
    个以线段AC为边的“8字形”；
    ②若∠B=76°，∠C=80°，试求∠P的度数；
    ③∠C和∠B为任意角时AP、DP分别是∠CAB、∠BDC的三等分线，写出∠P与∠C、∠B之间数量关系，并说明理由．
    考点：三角形内角和定理,三角形的外角性质
    专题：
    分析：①以M为交点的“8字形”有1个，以O为交点的“8字形”有2个；
    ②根据角平分线的定义得到∠CAP=∠BAP，∠BDP=∠CDP，再根据三角形内角和定理得到∠CAP+∠C=∠CDP+∠P，∠BAP+∠P=∠BDP+∠B，两等式相减得到∠C-∠P=∠P-∠B，即∠P=
    1
    2
    （∠C+∠B），然后把∠C=80°，∠B=76°代入计算即可；
    ③与②的证明方法一样得到∠P=
    1
    2
    （2∠C+∠B）或∠P=
    1
    2
    （∠C+2∠B）．
    解答：解：①3；
    故答案为3．
    ②证明：∵∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，
    ∴∠CAP=∠BAP，∠BDP=∠CDP，
    ∵∠CAP+∠C=∠CDP+∠P，∠BAP+∠P=∠BDP+∠B，
    ∴∠C-∠P=∠P-∠B，
    即∠P=
    1
    2
    （∠C+∠B），
    ∵∠C=80°，∠B=76°
    ∴∠P=
    1
    2
    （80°+76°）=78°；    

    ③∠P=
    1
    2
    （2∠C+∠B）或∠P=
    1
    2
    （∠C+2∠B）．
    证明：∵AP、DP分别是∠CAB、∠BDC的三等分线，
    ∴∠CAP=
    1
    3
    ∠BAC，∠BAP=
    2
    3
    ∠BAC，∠BDP=
    2
    3
    ∠BDC，∠CDP=
    1
    3
    ∠BDC，
    ∵∠CAP+∠C=∠CDP+∠P，∠BAP+∠P=∠BDP+∠B，
    ∴∠C-∠P=
    1
    3
    ∠BDC-
    1
    3
    ∠BAC，∠P-∠B=
    2
    3
    ∠BDC-
    2
    3
    ∠BAC，
    ∴2（∠C-∠P）=∠P-∠B，
    ∴∠P=
    1
    3
    （∠B+2∠C），
    点评：本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了角平分线的定义．
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    =
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