Question

【题目】如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90点P在线段BC上，延长BC至点Q，使得CQ=CP，连接AP，AQ．过点B作BD⊥AQ于点D，交AP于点E，交AC于点F．K是线段AD上的一个动点(与点A，D不重合)，过点K作GN⊥AP于点H，交AB于点G，交AC于点M，交FD的延长线于点N．

(1)依题意补全图1；

(2)求证：NM=NF；

(3)若AM=CP，用等式表示线段AE，GN与BN之间的数量关系，并证明．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）BN=AE+GN，见解析.

【解析】

（1）根据题意补全图1即可；

（2）根据等腰三角形的性质得到AP=AQ，求得∠APQ=∠Q，求得∠MFN=∠Q，同理，∠NMF=∠APQ，等量代换得到∠MFN=∠FMN，于是得到结论；

（3）连接CE，根据线段垂直平分线的性质得到AP=AQ，求得∠PAC=∠QAC，得到∠CAQ=∠QBD，根据全等三角形的性质得到CP=CF，求得AM=CF，得到AE=BE，推出直线CE垂直平分AB，得到∠ECB=∠ECA=45°，根据全等三角形的性质即可得到结论．

（1）依题意补全图1如图所示；

（2）∵CQ=CP，∠ACB=90°，

∴AP=AQ，

∴∠APQ=∠Q，

∵BD⊥AQ，

∴∠QBD+∠Q=∠QBD+∠BFC=90°，

∴∠Q=∠BFC，

∵∠MFN=∠BFC，

∴∠MFN=∠Q，

同理，∠NMF=∠APQ，

∴∠MFN=∠FMN，

∴NM=NF；

（3）连接CE，

∵AC⊥PQ，PC=CQ，

∴AP=AQ，

∴∠PAC=∠QAC，

∵BD⊥AQ，

∴∠DBQ+∠Q=90°，

∵∠Q+∠CAQ=90°，

∴∠CAQ=∠QBD，

∴∠PAC=∠FBC，

∵AC=BC，∠ACP=∠BCF，

∴△APC≌△BFC（AAS），

∴CP=CF，

∵AM=CP，

∴AM=CF，

∵∠CAB=∠CBA=45°，

∴∠EAB=∠EBA，

∴AE=BE，

∵AC=BC，

∴直线CE垂直平分AB，

∴∠ECB=∠ECA=45°，

∴∠GAM=∠ECF=45°，

∵∠AMG=∠CFE，

∴△AGM≌△CEF（ASA），

∴GM=EF，

∵BN=BE+EF+FN=AE+GM+MN，

∴BN=AE+GN．