Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC上，联结AD，以AD为一边作△ADE，满足AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，联结EC．

（1）求证：CA平分∠DCE；

（2）如果AB2＝BDBC，求证：四边形ABDE是平行四边形．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠ACB，证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质得到∠B＝∠ACE，根据角平分线的定义证明结论；

（2）根据相似三角形的判定定理得到△ABD∽△CBA，得到∠BAD＝∠ACB，分别证明AE∥BD，AB∥DE，根据平行四边形的判定定理证明．

（1）证明：∵AB＝AC，

∴∠B＝∠ACB，

∵∠DAE＝∠BAC，

∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，

在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠B＝∠ACE，

∴∠ACB＝∠ACE，

∴CA平分∠DCE；

（2）证明：∵AB2＝BDBC，

∴＝，

又∠B＝∠B，

∴△ABD∽△CBA，

∴∠BAD＝∠ACB，

∵△ABD≌△ACE，

∴∠BAD＝∠CAE，

∴∠CAE＝∠ACB，

∴AE∥BD，

∵AB＝AC，AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，

∴∠ACB＝∠ADE，

∴∠BAD＝∠ADE，

∴AB∥DE，

∵AE∥BD，AB∥DE，

∴四边形ABDE是平行四边形．