Question

17．如图，已知A（4，2）、B（n，-4）是一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象的两个交点
（1）求m的值和一次函数的解析式；
（2）结合图象直接写出不等式$\frac{m}{x}$-kx-b＞0的解集；
（3）若点M（t，y₁）、N（1，y₂）是反比例函数y=$\frac{m}{x}$上两点，且y₁＜y₂，请你借助图象，直接写出t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出m的值；由点B的坐标结合反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于n的一元一次方程，解方程即可求出点B的坐标，再由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出一次函数解析；
（2）结合函数图象的上下位置关系结合交点的横坐标，即可得出不等式的解集；
（3）根据反比例函数的性质结合函数图象，即可得出当y₁＜y₂时，t的取值范围．

解答 解：（1）∵点A（4，2）在反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象上，
∴m=4×2=8，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{8}{x}$．
∵点B（n，-4）在反比例函数y=$\frac{8}{x}$的图象上，
∴8=-4n，解得：n=-2，
∴点B的坐标为（-2，-4）．
将点A（4，2）、点B（-2，-4）代入到y=kx+b中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{2=4k+b}\\{-4=-2k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴一次函数的解析式为y=x-2．
（2）观察函数图象，发现：
当x＜-2或0＜x＜4时，反比例函数图象在一次函数图象的上方，
∴不等式$\frac{m}{x}$-kx-b＞0的解集为x＜-2或0＜x＜4．
（3）令y=$\frac{8}{x}$中x=1，则y=8，
∴y₂=8．
当点M在第三象限内时，y₁＜0，
显然y₁＜y₂，此时t＜0；
当点M的第一象限内时，
∵y=$\frac{8}{x}$中8＞0，
∴反比例函数在第一象限内单调递减，
∴若y₁＜y₂，则t＞1．
综上可知：当y₁＜y₂时，t的取值范围为t＜0或t＞1．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是：（1）求出A、B点的坐标利用待定系数法求函数解析式；（2）利用函数图象的上下位置关系解不等式；（3）根据函数性质找出函数单调性．本题属于中档题，难度不大，但解题过程稍显繁琐，解决该题型题目时，找出点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．