Question

18．如图，边长为4的正方形ABCD内接于点O，点E是$\widehat{AB}$上的一动点（不与A，B重合），点F是$\widehat{BC}$上的一点，连接OE，OF，分别与AB，BC交于点G，H，且∠EOF=90°，有以下结论：
①$\widehat{AE}$=$\widehat{BF}$；
②△OGH是等腰三角形；
③四边形OGBH的面积随着点E位置的变化而变化；
④△GBH周长的最小值为4+$\sqrt{2}$．
其中正确的是（　　）

• A． ①③④
• B． ①②③
• C． ①②
• D． ③④

Answer 1

分析 如图所示，连接OC、OB、CF、BE．
①正确．先证明$\widehat{BE}$=$\widehat{CF}$，由$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$即可证明结论；
②正确．只要证明△BOG≌△COH即可解决问题；
③错误．只要证明S_{四边形OGBH}=S_△BOC=$\frac{1}{4}$S_{正方形ABCD}=定值即可；
④错误．当OH⊥BC时，OH的值最小，即△OHG的周长最小，此时OG=OH=2，GH=2$\sqrt{2}$，推出△OGH的周长的最小值为4+2$\sqrt{2}$；

解答 解：如图所示，连接OC、OB、CF、BE．
∵∠BOE+∠BOF=90°，∠COF+∠BOF=90°，
∴∠BOE=∠COF，
∴$\widehat{BE}$=$\widehat{CF}$，
∵$\widehat{AB}$=$\widehat{CB}$，
∴$\widehat{AE}$=$\widehat{BF}$，故①正确，
在△BOG与△COH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BOG=∠COH}\\{OC=OB}\\{∠OBG=∠OCH=45°}\end{array}\right.$，
∴△BOG≌△COH，
∴OG=OH，∵∠HOG=90°
∴△OGH是等腰直角三角形，②正确，
∴S_△OBG=S_△OCH，
∴S_{四边形OGBH}=S_△BOC=$\frac{1}{4}$S_{正方形ABCD}=定值，故③错误，
∵△OGH是等腰直角三角形，
∴当OH⊥BC时，OH的值最小，即△OHG的周长最小，此时OG=OH=2，GH=2$\sqrt{2}$，
∴△OGH的周长的最小值为4+2$\sqrt{2}$，故④错误．
∴①②正确，
故选C．

点评 本题考查圆综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、四边形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线．构造全等三角形解决问题，学会利用垂线段最短，解决最值问题，属于中考常考题型．