Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于A，OP交⊙O于C，连接BC．
（Ⅰ）如图①，若∠P=20°，求∠BCO的度数；
（Ⅱ）如图②，过A作弦AD⊥OP于E，连接DC，若OE= CD，求∠P的度数．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）如图1中，

∵PA是⊙O的切线，

∴OA⊥AP，

∴∠PAO=90°，∵∠P=20°，

∴∠AOC=90°﹣20°=70°，

∴∠B= ∠AOC=35°，

∵OB=OC，

∴∠B=∠OCB=35°，

∴∠BCO=35°．

（Ⅱ）如图2中，连接BD、OD．

∵AD⊥OP于E，

∴AE=ED， = ，

∵AE=ED，OA=OB，

∴OE= DB，

∵OE= CD，

∴CD=DB，

∴ = ，

∴ = = ，

∴∠AOC=∠COD=∠BOD=60°，

∵PA是⊙O的切线，

∴∠PAO=90°，

∴∠P=30°

【解析】（1）可利用切线的性质得出垂直，再利用等边对等角的性质求出答案；（2）可利用直径的性质须连接BD，构成90度的圆周角，再利用垂径定理及其推论可求出∠P=30°.
【考点精析】解答此题的关键在于理解垂径定理的相关知识，掌握垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，以及对切线的性质定理的理解，了解切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径．