Question

附加题：（此题分数加入总分，但总分超过100分就计100分）
如图，已知在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点，点P在线段BC上由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．
（1）如果点P、Q的速度均为3厘米/秒，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；
（2）若点P的运动速度为2厘米/秒，点Q的运动速度为2.5厘米/秒，是否存在某一个时刻，使得△BPD与△CQP全等？如果存在请求出这一时刻并证明；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）求出BP=CQ，CP=BD，∠B=∠C，根据SAS证出两三角形全等即可；
（2）假设存在时刻t，根据全等三角形的性质得出方程组，求出t后，看看是否符合题意，再根据全等三角形的判定推出即可．

解答：（1）解：△BPD与△CQP是全等，
理由是：当t=1秒时BP=CQ=3，
CP=8-3=5，
∵D为AB中点，
∴BD=

1

2

AC=5=CP，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BDP和△CPQ中
∵

BD=CP ∠B=∠C BP=CQ

，
∴△BDP≌△CPQ（SAS）．

（2）解：假设存在时间t秒，使△BDP和△CPQ全等，
则BP=2t，BD=5，CP=8-2t，CQ=2.5t，
∵△BDP和△CPQ全等，∠B=∠C，
∴

2t=8-2t 5=2.5t

或

2t=2.5t 5=8-2t

（此方程组无解），
解得：t=2，
∴存在时刻t=2秒时，△BDP和△CPQ全等，
此时BP=4，BD=5，CP=8-4=4=BP，CQ=5=BD，
在△BDP和△CQP中
∵

BD=CQ ∠B=∠C BP=CP

，
∴△BDP≌△CQP（SAS）．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，主要考查学生的推理能力，题目比较好，但是有一定的难度．