Question

2．如图，△ABC中，∠ACB=90°，在BC上截取CD=AC，E在AB上，∠CED=90°，CE=2，ED=1，F是AB的中点，点G在CB上，∠GFB=2∠ECB，则GF的长为$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 根据勾股定理得到CD=$\sqrt{C{E}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{5}$，过A作AH⊥CE于H，通过△ACH≌△CDE，得到CH=DE=1，求得HE=1，推出∠CAE=2∠CAH=2∠DCE，得到∠CAF=∠GFB，根据平行线的判定定理得到AC∥FG，证得FG是△ABC的中位线，根据三角形中位线的性质即可得到结论．

解答 解：∵∠CED=90°，CE=2，ED=1，
∴CD=$\sqrt{C{E}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
过A作AH⊥CE于H，
∴∠AHC=∠AHE=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠DCE=∠ACE+∠CAH=90°，
∴∠CAH=∠DCE，
在△CAH与△DCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CAH=∠DCE}\\{∠AHC=∠CED}\\{AC=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACH≌△CDE，
∴CH=DE=1，
∴HE=1，
∴CH=EH，
∴∠CAE=2∠CAH=2∠DCE，
∵∠GFB=2∠ECB，
∴∠CAF=∠GFB，
∴AC∥FG，
∵F是AB的中点，
∴FG是△ABC的中位线，
∴FG=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．