Question

（2012•黑河）如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两条直角边OA、OB分别在y轴和x轴上，并且OA、OB的长分别是方程x²-7x+12=0的两根（OA＜OB），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点0运动；同时，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，设点P、Q运动的时间为t秒．
（1）求A、B两点的坐标．
（2）求当t为何值时，△APQ与△AOB相似，并直接写出此时点Q的坐标．
（3）当t=2时，在坐标平面内，是否存在点M，使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）解一元二次方程，求出OA、OB的长度，从而得到A、B点的坐标；
（2）△APQ与△AOB相似时，存在两种情况，需要分类讨论，不要遗漏，如图（2）所示；
（3）本问关键是找齐平行四边形的各种位置与性质，如图（3）所示．在求M₁，M₂坐标时，注意到M₁，M₂与Q点坐标的对应关系，则容易求解；在求M₃坐标时，可以利用全等三角形，得到线段之间关系．

解答：解：（1）解方程x²-7x+12=0，得x₁=3，x₂=4，
∵OA＜OB，∴OA=3，OB=4．
∴A（0，3），B（4，0）．

（2）在Rt△AOB中，OA=3，OB=4，∴AB=5，∴AP=t，QB=2t，AQ=5-2t．
△APQ与△AOB相似，可能有两种情况：
（I）△APQ∽△AOB，如图（2）a所示．
则有

AP

AO

=

AQ

AB

，即

t

3

=

5-2t

5

，解得t=

15

11

．
此时OP=OA-AP=

18

11

，PQ=AP•tanA=

20

11

，∴Q（

20

11

，

18

11

）；
（II）△APQ∽△ABO，如图（2）b所示．
则有

AP

AB

=

AQ

AO

，即

t

5

=

5-2t

3

，解得t=

25

13

．
此时AQ=

15

13

，AH=AQ•cosA=

9

13

，HQ=AQ•sinA=

12

13

，OH=OA-AH=

30

13

，∴Q（

12

13

，

30

13

）．
综上所述，当t=

15

11

秒或t=

25

13

秒时，△APQ与△AOB相似，所对应的Q点坐标分别为（

20

11

，

18

11

）或（

12

13

，

30

13

）．

（3）结论：存在．如图（3）所示．
∵t=2，∴AP=2，AQ=1，OP=1．
过Q点作QE⊥y轴于点E，则QE=AQ•sin∠QAP=

4

5

，AE=AQ•cos∠QAP=

3

5

，
∴OE=OA-AE=

12

5

，∴Q（

4

5

，

12

5

）．
∵?APQM₁，∴QM₁⊥x轴，且QM₁=AP=2，∴M₁（

4

5

，

2

5

）；
∵?APQM₂，∴QM₂⊥x轴，且QM₂=AP=2，∴M₂（

4

5

，

22

5

）；
如图（3），过M₃点作M₃F⊥y轴于点F，
∵?AQPM₃，∴M₃P=AQ，∠QAE=∠M₃PF，∴∠PM₃F=∠AQE；
在△M₃PF与△QAE中，∵∠QAE=∠M₃PF，M₃P=AQ，∠PM₃F=∠AQE，
∴△M₃PF≌△QAE，
∴M₃F=QE=

4

5

，PF=AE=

3

5

，∴OF=OP+PF=

8

5

，∴M₃（-

4

5

，

8

5

）．
∴当t=2时，在坐标平面内，存在点M，使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形．
点M的坐标为：M₁（

4

5

，

2

5

），M₂（

4

5

，

22

5

），M₃（-

4

5

，

8

5

）．

点评：本题是动点型压轴题，综合考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、解一元二次方程、平行四边形等知识点．本题难点在于分类讨论思想的应用，第（2）（3）问中，均涉及到多种情况，需要逐一分析不能遗漏；另外注意解答中求动点时刻t和点的坐标的过程中，全等三角形、相似三角形、三角函数等知识发挥了重要作用，这是解答压轴题的常见技巧，需要熟练掌握．