Question

11．如图，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，C、D是垂足，连接CD且交OE于点F．
（1）求证：OE是CD的垂直平分线．
（2）若∠AOB=60°，求OF：FE的值．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的性质得到ED=EC，证明Rt△ODE≌Rt△OCE，得到OD=OC，根据线段垂直平分线的判定定理证明结论；
（2）根据在直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半解答即可．

解答 （1）证明：∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴ED=EC，
在Rt△ODE和Rt△OCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{ED=EC}\\{OE=OE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ODE≌Rt△OCE，
∴OD=OC，又ED=EC，
∴OE是CD的垂直平分线；
（2）∵∠AOB=60°，
∴∠BOE=30°，
∴OE=2DE，
∵ED⊥OB，OE⊥CD，∠BOE=30°，
∴∠FDE=30°，
∴DE=2EF，
∴OF：FE=3：1．

点评 本题考查度数角平分线的性质、线段垂直平分线的判定和直角三角形的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等、与线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键．