Question

20．将一张边长为2的正方形纸片按照图①-④的过界折叠后再展开，则四边形AMCN的面积为4$\sqrt{2}$-4．

Answer 1

分析 先判定四边形AMCN是菱形，再根据△AOM∽△APF，得出$\frac{AO}{AP}$=$\frac{MO}{FP}$，即$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{MO}{2\sqrt{2}-2}$，求得MN=4-2$\sqrt{2}$，最后根据菱形ANCM的面积=$\frac{1}{2}$AC×MN进行计算即可．

解答 解：如图④，连接BD交AC于O，则BD垂直平分AC，
由折叠可得，∠MAC=∠MCO=∠NAO=∠NCO=22.5°，
∴AM∥CN，AN∥CM，AM=CM，
∴四边形AMCN是平行四边形，
又∵AM=CM，
∴四边形AMCN是菱形，
∴AN=CN，
∴点M，N在AC的垂直平分线上，即BD经过点M，N，
如图，过F作FP⊥AC于P，则点P与点D关于AF对称，
∴AP=AD=2，
又∵Rt△ACD中，AC=$\sqrt{2}$AD=2$\sqrt{2}$，
∴CP=2$\sqrt{2}$-2，
∴等腰直角三角形CFP中，PF=2$\sqrt{2}$-2，
而等腰直角三角形AOD中，AO=$\frac{AD}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
∵MO∥FP，
∴△AOM∽△APF，
∴$\frac{AO}{AP}$=$\frac{MO}{FP}$，即$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{MO}{2\sqrt{2}-2}$，
∴2MO=4-2$\sqrt{2}$，即MN=4-2$\sqrt{2}$，
∴菱形ANCM的面积=$\frac{1}{2}$AC×MN=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×（4-2$\sqrt{2}$）=4$\sqrt{2}$-4，
故答案为：4$\sqrt{2}$-4．

点评 本题属于折叠问题，主要考查了正方形的性质，菱形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质的综合应用，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．