解:(1)∵四边形ABCO是矩形,
∴OC=AB,
∴OF=2-x;
(2)由轴对称的性质可知:∠FBO=∠OBA,
在矩形OABC中,OC∥AB,
则∠FOB=∠OBA,
∴∠FBO=∠OBA,
∴BF=OF=2-x;
在Rt△FCB中,BC=OA=1,
由勾股定理可得:BF
2=CF
2+BC
2即:(2-x)
2=x
2+1
2,
解得:
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/19507.png)
,
则BF=OF=
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/357591.png)
=
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/1180.png)
.
(3)设双曲线l的解析式为:
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/2833.png)
(k≠0),又过点B(1,2)
∴
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/210582.png)
,
∴k=2,
∴
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/10818.png)
,
∵S
△OAB=
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/357592.png)
=
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/13.png)
×1×2=1,
∴S
△COB=S
△A′OB=1.
∴双曲线l上符合条件的点M,应在与OB平行且距离等于点C到OB的距离的直线上,
∵直线OB过点(0,0),(1,2)
∴直线OB的解析式为y=2x,
则过点C与OB平行的直线为:y=2x+2,
点M可能是过点C且与OB平行的直线与双曲线l的交点,
由
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/357593.png)
,
解得:x=
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/42094.png)
,
由轴对称性可知,点M可能是过点A且与OB平行的直线与双曲线l的交点,
由
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/357594.png)
,
解得:x=
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/8086.png)
综上,符合条件的点M的横坐标是x=
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/42094.png)
或x=
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/8086.png)
.
分析:(1)根据矩形的性质得OC=AB,则OF=2-x;
(2)根据轴对称的性质得:∠FBO=∠OBA;根据平行线的性质,得∠FOB=∠OBA.从而得到等腰三角形.则BF=OF.再根据勾股定理得到方程,进行求解.
(3)首先根据点B的坐标求得双曲线的解析式,再根据△OAB和△OBC的面积是1,结合两条平行线间的距离处处相等,则点M即是两条平行线和双曲线的交点.根据平行线的k值相等,以及点A,C的坐标分别求得两条平行线的解析式,再进一步和双曲线联立解方程组,即可求得点M的坐标.
点评:此题综合运用了轴对称的性质、勾股定理以及求函数图象交点的坐标的方法,对于学生综合分析问题的能力要求比较高.