Question

（2013•大庆）如图所示，AB是半圆O的直径，AB=8，以AB为一直角边的直角三角形ABC中，∠CAB=30°，AC与半圆交于点D，过点D作BC的垂线DE，垂足为E．
（1）求DE的长；
（2）过点C作AB的平行线l，l与BD的延长线交于点F，求

FD

DB

的值．

Answer 1

分析：（1）先由圆周角定理得出∠ADB=90°，再解Rt△ABD，得出BD=4，然后解Rt△BDE，即可求出DE的长；
（2）先由DE⊥BC，AB⊥BC，得出DE∥AB，根据平行线分线段成比例定理得出

CD

CA

=

1

4

，则DA=3CD，再证明△FCD∽△BAD，根据相似三角形对应边成比例即可求出

FD

DB

的值．

解答：解：（1）∵AB是半圆O的直径，
∴∠ADB=90°．
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠DAB=30°，AB=8，
∴BD=

1

2

AB=4．
在Rt△BDE中，∠DEB=90°，∠DBE=30°，BD=4，
∴DE=

1

2

BD=2；

（2）∵DE⊥BC，AB⊥BC，
∴DE∥AB，
∴

CD

CA

=

DE

AB

=

2

8

=

1

4

，
∴CA=4CD，
∴DA=3CD．
∵CF∥AB，
∴∠FCD=∠BAD，∠DFC=∠DBA，
∴△FCD∽△BAD，
∴

FD

DB

=

CD

DA

=

CD

3CD

=

1

3

．

点评：本题考查了圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，难度适中，求出DE的长，进而得到DA=3CD是解题的关键．