Question

【题目】已知：如图，矩形ABCD的一条边AB=10，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处，折痕为AO．

（1）求证：△OCP∽△PDA；

（2）若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AD的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）8

【解析】

(1)根据两角对应相等的两个三角形相似即可判定.(2)根据相似三角形的性质面积比等于相似比的平方,得到AD=2PC,设PC=x,则AD=2x,在RT△ADP中利用勾股定理即可解决问题.

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC，DC=AB，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°，

由折叠可得：AP=AB，PO=BO，∠PAO=∠BAO，∠APO=∠B，

∴∠APO=90°，

∴∠APD=90°﹣∠CPO=∠POC，

∵∠D=∠C，∠APD=∠POC，

∴△OCP∽△PDA．

（2）解：∵△OCP与△PDA的面积比为1：4，

∴==，

∴DA=2CP．设PC=x，则AD=2x，PD=10﹣x，AP=AB=10，

在Rt△PDA中，∵∠D=90°，PD 2+AD2=AP2，

∴（10﹣x）2+（2x）2=102，

解得：x=4，

∴AD=2x=8．