Question

14．如图，已知∠ACB=90°，AC=BC，点D为△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA．
（1）求证：DE平分∠BDC；
（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD．

Answer 1

分析 （1）由△BDC≌△ADC（SAS）推出∠DCB=∠DCA，又因为∠DCB+∠DCA=90°，推出∠DCB=∠DCA=45°．由∠BDM=∠ABD+∠BAD=30°+30°=60°，∠EDC=∠DAC+∠DCA=15°+45°=60°，推出∠BDM=∠EDC，即可证明．
（2）如图，连接MC．只要证明△ADC≌△EMC，即可推出ME=AD=BD．

解答 证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
∵∠CAD=∠CBD=15°，
∴∠BAD=∠ABD=45°-15°=30°，
∴BD=AD．
在△BDC与△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=AD}\\{∠CBD=∠CAD}\\{BC=AC}\end{array}\right.$，
∴△BDC≌△ADC（SAS），
∴∠DCB=∠DCA，
又∵∠DCB+∠DCA=90°，
∴∠DCB=∠DCA=45°．
由∠BDM=∠ABD+∠BAD=30°+30°=60°，
∠EDC=∠DAC+∠DCA=15°+45°=60°，
∴∠BDM=∠EDC，
∴DE平分∠BDC．

（2）如图，连接MC．
∵DC=DM，且∠MDC=60°，
∴△MDC是等边三角形，即CM=CD．
又∵∠EMC=180°-∠DMC=180°-60°=120°，
∠ADC=180°-∠MDC=180°-60°=120°，
∴∠EMC=∠ADC．
又∵CE=CA，
∴∠DAC=∠CEM．
在△ADC与△EMC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠EMC}\\{∠DAC=∠MEC}\\{AC=EC}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△EMC（AAS），
∴ME=AD=BD．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．