Question

采用如图所示的方法，可以把梯形ABCD折叠成一个矩形EFNM（图中EF，FN，EM为折痕），使得点A与B、C与D分别重合于一点．请问，线段EF的位置如何确定；通过这种图形变化，你能看出哪些定理或公式（至少三个）？证明你的所有结论．

Answer 1

分析：此题为开放题，答案不唯一．注意根据题目中的折叠方法，可知EF是梯形的中位线、AD∥EF∥BC等．则可得到有关的定理公式，如：梯形的面积公式，平行线的性质定理，梯形中位线定理等．

解答：解：可以看出梯形的中位线定理、面积公式、平行线的性质定理等．
（1）梯形中位线定理的证明：
已知：梯形ABCD，E、F分别AB、CD的中点．求证：EF=

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（AD+BC），AD∥EF∥BC．
证明：如图把梯形ABCD折叠成一个矩形EFNM（图中EF，FN，EM为折痕），使得点A与B、C与D分别重合于一点，
∴EF=NM．
即：EF=NM=BC-（BM+CN）=BC-（EF-AD），
∴EF=

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（AD+BC）．
∵四边形EFNM是矩形，
∴EF∥BC，
∵AD∥BC，
∴AD∥EF∥BC．

（2）面积公式：
S_梯形ABCD=2S_矩形EFNM=2EF•EN=

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（AD+BC）•2EN，
∵梯形的高等于2EN，
∴梯形的面积为：上底加下底乘以高再除以2．

（3）∵∠EBC+∠EBM=180°，∠B=∠EBM，∠A=∠EBC，
∴∠A+∠B=180°；
∴两直线平行，同旁内角互补．

点评：此题考查了折叠问题，解题的关键是掌握重合部分是全等形，即对应角相等，对应边相等．此题还考查了梯形中位线的证明，要注意仔细试图．