Question

13．等腰直角三角形ABC，∠ABC=90°，AB=2，O为AC中点，∠EOF=45°，求△BEF的周长．

Answer 1

分析 过点O作OD⊥OF，依据等腰直角三角形的性质可得到OB=AO，∠OBF=∠OAD=45°，然后依据同角的余角相等可证明∠AOD=∠BOF，然后依据ASA可证明△AOD≌△BOF，于是得到BF=AD，然后再证明△DOE≌△FOE，依据全等三角形的性质可得到DE=EF，最后将△EFB的周长转化为AB的长求解即可．

解答 解：如图所示：过点O作OD⊥OF．

∵△ABC为等腰直角三角形，O为斜边AC的中点，
∴OB⊥AC，∠A=∠C=45°，∠OBF=$\frac{1}{2}$∠ABC=45°，∠BOA=90°，OB=AO，
∴∠OBF=∠OAD，∠BOD+∠DOA=90°．
∵OD⊥OF，
∴∠DOB+∠BOF=90°．
∴∠AOD=∠BOF．
在△AOD和△BOF中$\left\{\begin{array}{l}{∠OBF=∠OAD}\\{OB=AO}\\{∠AOD=∠BOF}\end{array}\right.$，
∴△AOD≌△BOF．
∴BF=AD，OD=OF．
∵∠DOF=90°，∠EOF=45°，
∴∠DOE=∠FOE=45°．
在△DOE和△FOE中$\left\{\begin{array}{l}{OD=OF}\\{∠DOE=∠FOE}\\{OE=OE}\end{array}\right.$，
∴△DOE≌△FOE．
∴DE=EF．
∴△EFB的周长=BE+FB+EF=BE+AD+DE=AB=2．

点评 本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形的性质，将△EFB的周长转化为AB的长是解题的关键．