Question

如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC，以斜边AB为一边作等边△ABD，使点C，D在AB的同侧；再以CD为一边作等边△CDE，使点C，E落在AD的异侧．若AE=2，则CD的长为

6 - 2

2

．

Answer 1

分析：延长DC交AB于F，得出直线DC是AB的垂直平分线，证△EDA≌△CDA，求出AC=1，求出CF、DF，即可得出答案．

解答：解：延长DC交AB于F，
由题意易得，
∵AC=BC，
∴C在AB的垂直平分线上，
同理，D在AB的垂直平分线上，
∴CD是等边三角形ABD的角平分线，
∴∠ADC=30°，
则∠EDA=60°-30°=30°，
∵ED=DC，AD=AD，∠EDA=∠CDA=30°
∴△EDA≌△CDA，
∴EA=AC=1，
∴在等腰Rt△ABC中AB=

12+12

=

2

，
AF=BF=

1

2

2

，
在Rt△ACF中，由勾股定理得：CF=

12-( 1 2 2 )2

=

1

2

2

，
在Rt△DAF中，∠ADF=30°，AD=AB=

2

，AF=

1

2

2

，由勾股定理得：DF=

1

2

6

，
∴DC=DF-CF=

1

2

6

-

1

2

2

=

6 - 2

2

，
故答案为：

6 - 2

2

．

点评：本题考查了等边三角形性质，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形性质，勾股定理，含30度角的直角三角形等知识点的综合运用．