Question

【题目】已知在平面直角坐标系xOy中，直线l别交x轴和y轴于点A（－3，0），B（0，3）．

（1）如图1，已知⊙P经过点O，且与直线l1相切于点B，求⊙P的直径长；

（2）如图2，已知直线l2：y＝3x－别交x轴和y轴于点C和点D，点Q是直线l2上的一个动点，以Q为圆心，2为半径画圆．

①当点Q与点C重合时，求证：直线l1与⊙Q相切；

②设⊙Q与直线l1相交于M，N两点，连结QM，QN．问：是否存在这样的点Q，使得△QMN是等腰直角三角形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①见解析；②（，）或（，）．

【解析】

（1）证明△ABC为等腰直角三角形，则⊙P的直径长=BC=AB，即可求解；

（2）证明圆的半径，即可求解；

（3）分点M、N在两条直线交点的下方、点M、N在两条直线交点的上方两种情况，分别求解即可．

解：（1）如图1，连接BC，

∵∠BOC＝90°，∴点P在BC上，

∵⊙P与直线l1相切于点B，

∴∠ABC＝90°，而OA＝OB，

∴△ABC为等腰直角三角形，

则⊙P的直径长＝BC＝AB＝；

（2）①过点作CM⊥AB，

由直线l2：y＝3x－3得：点C（1，0），

则圆的半径，

故点M是圆与直线l1的切点，

即：直线l1与⊙Q相切；

②如图3，

当点M、N在两条直线交点的下方时，

由题意得：MQ＝NQ，∠MQN＝90°，

设点Q的坐标为（m，3m－3），则点N（m，m＋3），

则 ，

解得：；

当点M、N在两条直线交点的上方时，

同理可得：；

故点Q的坐标为（，）或（，）．