Question

如图，矩形ABCD中，AB=10cm，BC=20cm，动圆⊙O₁从点A出发以5cm/s的速度沿折线AD-DC-CB-BA的方向运动，动圆⊙O₂同时从点D出发以1cm/s的速度沿折线DC-CB-BA的方向运动，当O₁和O₂首次重合，则运动停止，设运动的时间是ts．
（1）当t是多少时，O₁和O₂首次重合．
（2）如果⊙O₁、⊙O₂的半径分别为1cm和2cm，那么t为何值时，⊙O₁和⊙O₂相切．

Answer 1

（1）由题意得：（5-1）t=20
解得t=5
答：当t是5s时，O₁和O₂首次重合．

（2）由（1）得，O₁和O₂首次重合时，O₁和O₂运动到BC上，所以分以下两种情况讨论：
①若点O₁在AD上，O₂在DC上，则AO₁=5t，DO₁=20-5t，DO₂=t，
当⊙O₁、⊙O₂外切，在Rt△O₁DO₂中，
（20-5t）²+（t）²=3²，此方程无实数解，
当⊙O₁、⊙O₂内切，在Rt△O₁DO₂中，
（20-5t）²+（t）²=1²，此方程无实数解，
②若点O₁，O₂在DC上，
当⊙O₁、⊙O₂外切，（5-1）t=17，解得：t=

17

4

，
当⊙O₁、⊙O₂内切，（5-1）t=19，解得：t=

19

4

，
答：当t=

17

4

和

19

4

时，两圆相切．