在平面直角坐标系中.点O为原点.点A的坐标为．如图1.正方形OBCD的顶点B在x轴的负半轴上.点C在第二象限．现将正方形OBCD绕点O顺时针旋转角α得到正方形OEFG．(1)如图2.若α=60°.OE=OA.求直线EF的函数表达式．(2)若α为锐角.tanα=$\frac{1}{2}$.当AE取得最小值时.求正方形OEFG的面积．(3)当正方形OEFG的顶� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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19．在平面直角坐标系中，点O为原点，点A的坐标为（-6，0）．如图1，正方形OBCD的顶点B在x轴的负半轴上，点C在第二象限．现将正方形OBCD绕点O顺时针旋转角α得到正方形OEFG．
（1）如图2，若α=60°，OE=OA，求直线EF的函数表达式．
（2）若α为锐角，tanα=$\frac{1}{2}$，当AE取得最小值时，求正方形OEFG的面积．
（3）当正方形OEFG的顶点F落在y轴上时，直线AE与直线FG相交于点P，△OEP的其中两边之比能否为$\sqrt{2}$：1？若能，求点P的坐标；若不能，试说明理由

分析（1）先判断出△AEO为正三角形，再根据锐角三角函数求出OM即可；
（2）判断出当AE⊥x轴时，线段AE的长最小，用勾股定理计算即可；
（3）方法一：由△OEP的其中两边之比为$\sqrt{2}$：1分三种情况进行计算即可．
方法二：设出点F的坐标，进而表示出GF和AE解析式，进而得出点P坐标，即可表示出OP²，PE²，OE²，最后建立方程求解即可．

解答解：（1）如图1，

过点E作EH⊥OA于点H，EF与y轴的交点为M．
∵OE=OA，α=60°，
∴△AEO为正三角形，
∴OH=3，EH=$\sqrt{62-32}$=3$\sqrt{3}$．
∴E（-3，3$\sqrt{3}$）．
∵∠AOM=90°，
∴∠EOM=30°．
在Rt△EOM中，
∵cos∠EOM=$\frac{OE}{OM}$，
即$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{6}{OM}$，
∴OM=4$\sqrt{3}$．
∴M（0，4$\sqrt{3}$）．
设直线EF的函数表达式为y=kx+4$\sqrt{3}$，
∵该直线过点E（-3，3$\sqrt{3}$），
∴-3k+4$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$，
解得k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
所以，直线EF的函数表达式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+4$\sqrt{3}$．
（2）如图2，

射线OQ与OA的夹角为α（ α为锐角，tanα=$\frac{1}{2}$）．
无论正方形边长为多少，绕点O旋转角α后得到正方
形OEFG的顶点E在射线OQ上，
∴当AE⊥OQ时，线段AE的长最小．
在Rt△AOE中，设AE=a，则OE=2a，
∴a²+（2a）²=6²，解得a₁=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，a₂=-$\frac{6\sqrt{5}}{5}$（舍去），
∴OE=2a=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$，
∴S_{正方形OEFG}=OE²=$\frac{144}{5}$．

（3）方法一：设正方形边长为m．
当点F落在y轴正半轴时．
如图3，

当P与F重合时，△PEO是等腰直角三角形，有$\frac{OP}{PE}$=$\sqrt{2}$或$\frac{OP}{OE}$=$\sqrt{2}$．
在Rt△AOP中，∠APO=45°，OP=OA=6，
∴点P₁的坐标为（0，6）．
在图3的基础上，
当减小正方形边长时，
点P在边FG 上，△OEP的其中两边之比不可能为$\sqrt{2}$：1；
当增加正方形边长时，存在$\frac{PE}{OE}$=$\sqrt{2}$（图4）和$\frac{OP}{PE}$=$\sqrt{2}$（图5）两种情况．
如图4，

△EFP是等腰直角三角形，
有$\frac{PE}{EF}$=$\sqrt{2}$，
即$\frac{PE}{OE}$=$\sqrt{2}$，
此时有AP∥OF．
在Rt△AOE中，∠AOE=45°，
∴OE=$\sqrt{2}$OA=6$\sqrt{2}$，
∴PE=$\sqrt{2}$OE=12，PA=PE+AE=18，
∴点P₂的坐标为（-6，18）．
如图5，

过P作PR⊥x轴于点R，延长PG交x轴于点H．设PF=n．
在Rt△POG中，PO²=PG²+OG²=m²+（m+n）²=2m²+2mn+n²，
在Rt△PEF中，PE²=PF²+EF²=m²+n²，
当$\frac{PO}{PE}$=$\sqrt{2}$时，
∴PO²=2PE²．
∴2m²+2mn+n²=2（m²+n²），得n=2m．
∵EO∥PH，
∴△AOE∽△AHP，
∴$\frac{OA}{AH}=\frac{OE}{PH}$=$\frac{1}{4}$，
∴AH=4OA=24，
即OH=18，
∴m=9$\sqrt{2}$．
在等腰Rt△PRH中，PR=HR=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PH=36，
∴OR=RH-OH=18，
∴点P₃的坐标为（-18，36）．
当点F落在y轴负半轴时，
如图6，

P与A重合时，在Rt△POG中，OP=$\sqrt{2}$OG，
又∵正方形OGFE中，OG=OE，
∴OP=$\sqrt{2}$OE．
∴点P₄的坐标为（-6，0）．
在图6的基础上，当正方形边长减小时，△OEP的其中
两边之比不可能为$\sqrt{2}$：1；当正方形边长增加时，存在$\frac{PE}{PO}$=$\sqrt{2}$（图7）这一种情况．
如图7，过P作PR⊥x轴于点R，

设PG=n．
在Rt△OPG中，PO²=PG²+OG²=n²+m²，
在Rt△PEF中，PE²=PF²+FE²=（m+n ）²+m²=2m²+2mn+n²．
当$\frac{PE}{PO}$=$\sqrt{2}$时，
∴PE²=2PO²．
∴2m²+2mn+n²=2n²+2m²，
∴n=2m，
由于NG=OG=m，则PN=NG=m，
∵OE∥PN，
∴△AOE∽△ANP，
∴$\frac{AN}{AO}=\frac{PN}{OE}$=1，
即AN=OA=6．
在等腰Rt△ONG中，ON=$\sqrt{2}$m，
∴12=$\sqrt{2}$m，
∴m=6$\sqrt{2}$，
在等腰Rt△PRN中，RN=PR=6，
∴点P₅的坐标为（-18，6）．
所以，△OEP的其中两边的比能为$\sqrt{2}$：1，点P的坐标是：P₁（0，6），P₂（-6，18），
P₃（-18，36），P₄（-6，0），P₅（-18，6）．
方法二：设点F（0，2a），
∴E（-a，a），G（a，a），
∵A（-6，0），
∴直线FG的解析式为y=-x+2a①，直线AE的解析式为y=$\frac{a}{6-a}$（x+6）②，
联立①②得，P（-（$\frac{1}{3}{a}^{2}-a$），$\frac{1}{3}{a}^{2}+a$）；
∵E（-a，a），O（0，0），
∴PE²=$（\frac{1}{3}{a}^{2}+a+a）^{2}+（\frac{1}{3}{a}^{2}）^{2}$=2a²（$\frac{1}{9}a-\frac{2}{3}a+2$）²，
OP²=$（\frac{1}{3}{a}^{2}-a）^{2}+（\frac{1}{3}{a}^{2}+a）^{2}$=2a²（$\frac{1}{9}{a}^{2}+1$），
OE²=2a²，
∵△OEP的其中两边之比为$\sqrt{2}$：1，
∴△OEP的其中两边的平方之比为2：1，
①PE²=2OE²，
∴2a²（$\frac{1}{9}a-\frac{2}{3}a+2$）²=2×2a²，
∴a=0（舍）或a=6，
把a=6代入点P的坐标中，得，P（-6，18）（如图4），

②PE²=2OP²，
∴2a²（$\frac{1}{9}a-\frac{2}{3}a+2$）²=2×2a²（$\frac{1}{9}{a}^{2}+1$），
∴a=0（舍）或a=-6，
把a=6代入点P的坐标中，得，P（-18，6）（如图7），

③OE²=2PE²；
∴2a²=2×2a²（$\frac{1}{9}a-\frac{2}{3}a+2$）²，此方程无解；
④OE²=2OP²．
∴2a²=2×2a²（$\frac{1}{9}{a}^{2}+1$），此方程无解；
⑤OP²=2OE²；
∴2a²（$\frac{1}{9}{a}^{2}+1$）=2×2a²，
∴a=3或a=-3，
将a的值代入点P坐标中，得，P（0，6）（如图3）或（-6，0）（图6）
，
⑥OP²=2PE²．
∴2a²（$\frac{1}{9}{a}^{2}+1$）=2×2a²（$\frac{1}{9}a-\frac{2}{3}a+2$）²，
∴a=3（和第五种情况重复）或a=9，
把a=9代入点P的坐标中，得，P（-18，36）（如图5）

所以，△OEP的其中两边的比能为$\sqrt{2}$：1，点P的坐标是：P（0，6），P（-6，18），
P（-18，36），P（-6，0），P（-18，6）．

点评此题是正方形的性质题，主要考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解本题的关键是灵活运用勾股定理进行计算．

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