分析：（1）要证明△ABC为等边三角形，证明三边相等是解答本题的关键，将已知三式相加，然后化简变形，运用因式分解化成完全平方式，根据非负数和为零定理就可以求出a=b=c，从而证明结论．
（2）延长BO1交AC于D，根据内心和等边三角形的性质可以用字母表示出△ABC的面积及BO1的长度，同样地方法可以表示出△BB1O1的面积、△BB2O2的面积，依此类推可以表示出△BBnOn的面积．从而求出答案．
解答：（1）证明：∵a
2=b
2+c
2-bc，b
2=a
2+c
2-ac，c
2=a
2+b
2-ab，
∴a
2+b
2+c
2=b
2+c
2-bc+a
2+c
2-ac+a
2+b
2-ab，
∴0=a
2+b
2+c
2-bc-ac-ab，
∴0=2a
2+2b
2+2c
2-2bc-2ac-2ab，
∴0=（a-b）
2+（a-c）
2+（b-c）
2
∴a-b=0，a-c=0，b-c=0
∴a=b，a=c，b=c
∴a=b=c
∴△ABC是等边三角形；
（2）解：延长BO
1交AC于D
∵O
1为△ABC的内心，
∴BD⊥AC，AD=DC，设AD=x，则AC=2X，在Rt△ABD中由勾股定理，得
BD=
x，
∴S
△ABC=
=4
∴
x
2=4
在Rt△ADO
1中，由勾股定理，得
DO
1=
x∴BO
1=
x
∴EO
1=
x，BE=x
∴S
1=
x
2=
同理可以求出BO
2=
x，O
2F=
x，BF=
x
S
2=
=
x
2=
同理可得：S
3=
…S
n=
∴S
2010=
答：S
1=
，S
2=
，S
2010=
点评：本题考查了三角形的内切圆，因式分解的运用，等边三角形的判定与性质，勾股定理的运用，三角形面积的计算．
59、已知：三角形ABC内接于⊙O，过点A作直线EF．
半轴上．关于y轴对称的抛物线y=ax2+bx+c经过A、D（3，-2）、P三点，且点P关于直线AC的对称点在x轴上．
已知等腰三角形ABC的两个顶点分别是A（0，1），B（0，3），第三个顶点C在x轴的正半轴上，关于y轴对称的抛物线y=ax2+bx+c经过点A，D（3，-2）．
如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．已知直角三角形ABC的三个顶点都在格点上．
如图：已知钝角三角形ABC，画出它三条边上的高．