Question

【题目】某校组织数学兴趣探究活动，爱思考的小实同学在探究两条直线的位置关系查阅资料时发现，两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图1、图2、图3中，AF、BE是△ABC的中线，AF⊥BE于点P，像△ABC这样的三角形均称为“中垂三角形”．

（1）如图1，当∠PAB＝45°，AB＝6时，AC＝　 　，BC＝　 　；如图2，当sin∠PAB＝，AB＝4时，AC＝　 　，BC＝　 　；

（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想AB2、BC2、AC2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．

（3）如图4，在△ABC中，AB＝4，BC＝2，D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，连结DE并延长至G，使得GE＝DE，连结BG，当BG⊥AC于点M时，求GF的长．

Answer 1

【答案】（1）6，6，2，2；（2）AC2+BC2＝5AB2，见解析；（3）GF＝

【解析】

（1）如图1，由等腰直角三角形的性质得到AP=BP=6，根据三角形中位线的性质和平行线分线段成比例定理可得PE=PF=3，利用勾股定理可得AC和BC的长；如图2，根据特殊三角函数值可得∠BAP=30°，计算PB和AP的长，同理由中线的性质和勾股定理可得结论；
（2）设PF=m，PE=n则AP=2m，PB=2n，根据勾股定理分别列等式，可得结论；

（3）如图4，作辅助线，证明四边形EFCG是平行四边形，得Q是FG的中点，根据中垂三角形的定义可知：△FCG是中垂三角形，利用（2）中三边的关系可得GF的长．

（1）解：如图1，∵AF⊥BE，

∴∠APB＝∠APE＝∠BPF＝90°，

∵∠PAB＝45°，AB＝6，

∴AP＝PB＝6，

如图1，连接EF，

∵AF，BE是△ABC的中线，

∴EF是△ABC的中位线，

∴EF∥AB．且 EF＝AB，

∴，

∴PE＝PF＝3，

由勾股定理得：AE＝BF＝＝＝3，

∴AC＝BC＝2AE＝6，

如图2，∵sin∠PAB＝，AB＝4，AF⊥BE，

∴∠PAB＝30°，

∴BP＝AB＝2，AP＝2，

∵AF、BE是△ABC的中线，

∴PE＝PB＝1，PF＝AP＝，

由勾股定理得：AE＝＝＝，

BF＝＝＝，

∴AC＝2AE＝2，BC＝2BF＝2，

故答案为：6，6，2，2；

（2）解：猜想：AB2、BC2、AC2三者之间的关系是：AC2+BC2＝5AB2，

证明：如图3，设 PF＝m，PE＝n 则AP＝2m，PB＝2n，

在Rt△APB中，（2m）2+（2n）2＝AB2①，

在Rt△APE中，（2m）2+n2＝（）2②，

在Rt△BPF中，m2+（2n）2＝（）2③，

由①得：m2+n2＝，由②+③得：5（ m2+n2）＝，

∴AC2+BC2＝5AB2；

（3）解：如图4，连接CG，EF，过点F作FN∥BG交CG于点N，FG与AC交于点Q，

∵FN∥BG，BG⊥AC，

∴FN⊥AC，

∵F是BC的中点，

∴N是CG的中点，

∵D、E分别是AB、AC的中点，

∴DE＝FC，DE∥FC，

∵ED＝EG，

∴EG＝FC，EG∥FC，

∴四边形EFCG是平行四边形，

∴Q是FG的中点，

∴△FCG是中垂三角形，

∵AB＝4，BC＝2，

∴CG＝EF＝BD＝2，FC＝，

由（2）中结论可知：5FC2＝CG2+FG2，

即5×5＝（2）2+FG2，

∴GF＝．